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  Adjungierter Operator schwach diff'bares Skalarprodukt |
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Cielo
Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2017
Mitteilungen: 113
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Hallo,
ich sitze wieder an einer weiteren Operatoraufgabe und habe Fragen. Die Aufgabe lautet:
"Sei $H_0^1([0,\pi])$ der Raum der schwach differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall $[0, \pi]$, die bei $0$ und $\pi$ verschwinden. Für das Skalaprodukt gilt:
\[ \langle f, g \rangle = \int_0^{\pi} f'(x)g'(x)dx \, . \]
Sei $Y:=L^2([0,\pi])$ mit dem Standard Skalarprodukt. Wir definieren den Operator $K:X \rightarrow Y$ als:
\[ (Kx)(s) = \int_0^s x(t)dt\]
Berechne den adjungierten Operator $K^*$ sowie die Singulärwertzerlegung."
Ich will also das $K^*$ finden, für das gilt: $ \langle Kx, v\rangle_{L^2([0,\pi])} = \langle x, K^*v \rangle_{H_0^1([0,\pi])}$.
Bislang habe ich eingesetzt:
\[ \langle Kx, v \rangle_{L^2([0,\pi])} = \int_0^{\pi} (Kx)(s)v(s)dx = \int_0^{\pi} \int_0^s x(t)dt v(s)ds\]
Mit Fubini:
\[ \int_0^{\pi} \int_t^\pi x(t) v(s)ds dt = \int_0^{\pi} x(t) \int_t^\pi v(s)ds dt \]
Um das Skalarprodukt in $H_0^1$ zu bekommen, muss ich die Ableitung von $x(t)$ bekommen. Meine Idee wäre partielle Integration zu benutzen. Klappt allerdings nicht so, wie ich mir das vorstelle, da mein $x'(t)$ dann verschwindet, wenn ich $0$ bzw $\pi$ einsetze.
Könnt ihr mir weiterhelfen?
Liebe Grüße
Cielo
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1860
|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29
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Hallo Cielo,
ich sehe nicht so recht, warum dein \(x'\) irgendwo verschwinden sollte, wenn du partiell integrierst. Wenn du bei der partiellen Integration aus dem \(x\) ein \(x'\) machst und von dem \(\int_t^{\pi} v(s) \, ds\) eine Stammfunktion nimmst, fallen doch die Randwerte wegen \(x(0)=x(\pi)=0\) weg und du hast noch einen Integralterm übrig, indem u.A. dein \(x'\) vorkommt.
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Cielo
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2017
Mitteilungen: 113
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-10
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War natürlich Quatsch! Für alle, die so etwas ähnliches machen: ich habe die rechte Seite hingeschrieben und mir daran überlegt, wie der adjungierte Operator aussehen muss.
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