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Mathematik » Geometrie » Konstruktion einer Sekante mit bestimmter Länge
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Universität/Hochschule Konstruktion einer Sekante mit bestimmter Länge
Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-27


Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe einer älteren Klausur. Diese werde ich im Folgenden einmal formulieren:

Gegeben sei ein ein Kreis K mit Mittelpunkt M und Radius r sowie ein Punkt P außerhallb von K.
Gesucht: Sekante f durch P, die den Kreis K so in 2 Punkten A und B schneidet, dass gilt : |PA|=|AB|
Wann und wie kann diese Sekante konstruiert werden?

Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn mir jemand Tipps geben könnte :)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Das kann man mit folgender Überlegung angehen: zunächst ist ja \(\overline{PA}=\overline{AB}\) gleichbedeutend mit \(\overline{PB}=2\cdot\overline{PA}\).

Wenn du dir nun eine zentrische Streckung der Ebene mit Faktor \(k=2\) und dem Zentrum \(P\) denkst, dann wird durch die Streckung der gegebene Kreis auf einen neuen Kreis abgebildet. Jetzt überlege einmal, welche Bedeutung die beiden dabei ggf. entstehenden Schnittpunkte der beiden Kreise bezüglich deines Problems haben müssen...

Auf die Frage, wann diese Konstruktion möglich ist, ist die Antwort: eben dann, wenn der gegebene Kreis und der Bildkreis gemeinsame Punkte besitzen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-27

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hi Rurien9713

Willkommen auf dem Planeten

Aus welchem Wettbewerb stammt die Aufgabe?

(Zunächst) ohne Beweis:
• Spiegele $P$ an $M$ nach $N$
• Die Verbindung $PN$ schneidet $K$ in $S$
• Spiegele $P$ an $S$ nach $T$
• Der Kreis um $N$ durch $T$ schneidet $K$ in $B_1$ und $B_2$
• Die Mitte von $P$ und $B1$ bzw. $B_2$ ist $A_1$ bzw. $A_2$

Gruß vom ¼


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Hallo!
Vielen Dank für die Antwort! Damit kann ich erstmal arbeiten und werde es noch ein Mal versuchen.

Diese Aufgabe stammt aus einer älteren Klausur von der Universität.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Wenn es keine aktuelle Wettbewerbsaufgabe ist, dann hier die Lösung:

(Zunächst) ohne Beweis:
• Spiegele $P$ an $M$ nach $N$
• Die Verbindung $PM$ schneidet $K$ in $S$
• Spiegele $P$ an $S$ nach $T$
• Der Kreis um $N$ durch $T$ schneidet $K$ in $B_1$ und $B_2$
• Die Mitte von $P$ und $B1$ bzw. $B_2$ ist $A_1$ bzw. $A_2$
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@viertel:
Das ist ja letztendlich die Konstruktionsvorschrift, die aus meinem obigen Hinweis mit der zentrischen Streckung folgt. Aber es beantwortet diese Frage nicht:

2020-11-27 13:38 - Rurien9713 im Themenstart schreibt:
Wann ... kann diese Sekante konstruiert werden?

Deine Konstruktionsbeschreibung legt aber verbal nahe, dass das immer geht:

2020-11-29 16:42 - viertel in Beitrag No. 4 schreibt:
.
.
.
• Der Kreis um $N$ durch $T$ schneidet $K$ in $B_1$ und $B_2$
.
.
.

Und diese Schnittpunkte existieren eben nur unter einer gewissen Voraussetzung.

Das hast du sicherlich auch so gemeint, ich wollte es aber der Vollständigkeit halber nochmal erwähnen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-11-29

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
@Diophant
Das ergibt sich bei der Konstruktion: $3r=3 \cdot \overline{MS} \ge \overline{MP}$
\(\endgroup\)


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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Vielen Dank euch beiden.

Ich werde es auf jeden Fall zeitnah ausprobieren. LG



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-29


Hallo Rurien9713
und auch von mir ein herzliches Willkommen!

Zum "Wann":

Gehe das ganze "von hinten" an...

Angenommen, \(A\) auf \(k_M\) sei vorgegeben.
\(B\) und \(P\) liegen dann "einander gegenüber" auf einem Kreis \(k_A\) um \(A\),
wobei \(B\) ein Schnittpunkt von \(k_A\) und \(k_M\) ist.

Wenn der Radius \(r_A\) dieses Kreises minimal ist,
also \(0\), dann fallen \(A\), \(B\) und \(P\) zusammen.
Die Sekante von \(P\) durch \(A\) und \(B\) würde zur Tangente an \(k_M\) in \(A\).
Das darf nicht sein, also muss gelten:   \(0\: <\:r_A\: =\:\vert PA\vert\: =\:\vert AB\vert\) .

Maximal wird \(r_A\), wenn \(k_A\) "gegenüber" von \(A\) \(k_M\) genau berührt,
und zwar in \(B\). Dann liegt \(B\) auf dem Durchmesser \(\vert AB\vert\) von \(k_M\),
und es gilt:   \(\vert AB\vert\: =\: r_A\: =\:2\,\cdot\, r_M\) .
Aus  \(\vert PA\vert\:\leq\: 2\,\cdot\,r_M\)  und  \(\vert AM\vert\: =\: r_M\)  folgt dann:   \(\vert PM\vert\:\leq\:3\,\cdot\,r_M\) .

Die Angabe "außerhalb von \(k_M\)" bedeutet:   \(r_M\:\ <\:\vert PM\vert\) .

Zusammen ergibt sich also:   \(r_M\: <\:\vert PM\vert\:\leq\:3\,\cdot\,r_M\) .

Eine Sekante von \(P\) durch \(k_M\) kann also konstruiert werden,
wenn \(P\) innerhalb eines Kreises um \(M\) mit dem dreifachen
Radius \(r_M\), dabei aber außerhalb von \(k_M\) mit Radius \(r_M\) liegt!

Zum "Wie":

Da hilft der "Sekanten-Tangenten-Satz" ...


Die Tangente von \(P\) an \(k_M\) berührt \(k_M\) in \(T\).
Für die gesuchte Sekante \(PB\) von \(P\) durch \(k_M\) in \(A\)
soll gelten:   \(\vert PA\vert\: =\:\vert AB\vert\) .
Dann gilt nach Sekanten-Tangentensatz:   \(\vert PA\vert\:\cdot\:\vert PB\vert\: =\:\vert PT\vert^2\) .
Mit  \(\vert PB\vert\: =\:\vert PA\vert\: +\:\vert AB\vert\: =\:2\,\cdot\,\vert PA\vert\)  folgt:   \(2\,\cdot\,\vert PA\vert^2\: =\:\vert PT\vert^2\) .
Und daraus folgt:   \(\vert PA\vert\: =\:\frac{\vert PT\vert}{\sqrt{2}}\) .

Das ist genau das bekannte Verhältnis
von Quadratseite zu Quadratdiagonale!

Zeichne also von \(P\) die Tangente an \(k_M\).
Sie berührt \(k_M\) im Punkt \(T\).
Konstruiere die Mittelsenkrechte von \(\vert PT\vert\).
Sie schneidet \(\vert PT\vert\) im Punkt \(Z\).
Kreis um \(Z\) mit Radius \(\vert PZ\vert =\vert ZT\vert\)
schneidet die Mittelsenkrechte von \(\vert PT\vert\) im Punkt \(Q\).
Kreis um \(P\) mit Radius \(\vert PQ\vert\) schneidet \(k_M\) im Punkt \(A\).
Die Sekante \(PB\) durch \(k_M\) in \(A\) erfüllt die Bedingung!

Wenn  \(\vert PM\vert =3\cdot r_M\) , dann berührt der vorherige Kreis um \(P\)
mit Radius \(\vert PQ\vert\) gerade noch \(k_M\) ; sobald aber  \(\vert PM\vert >3\cdot r_M\) ,
muss die Konstruktion misslingen!

Zur allgemeinen Veranschaulichung kannst Du Dir einen horizontalen Durchmesser in einen gegebenen Kreis einzeichnen. \(P\) wählst Du zunächst genau "oberhalb" des Kreismittelpunktes auf dem Kreis und lässt ihn danach nach oben weg wandern". Die geeignete Sekante ist dann zu Anfang eine horizontale Kreistangente parallel zum gezeichneten horizontalen Durchmesser. Mit "wegwanderndem" \(P\) "verdoppelt" sie sich zu zweien, welche man jeweils als Schenkel zweier gleichschenkliger Dreiecke \(\triangle PAA*\) und \(\triangle PBB*\) auffassen kann, die in Richtung des Kreismittelpunktes allmählich "nach innen klappen". Für  \(\vert PM\vert =3\cdot r_M\)  fallen sie schließlich wieder zu einer Linie \(\vert PB\vert\) zusammen, ehe sie danach - weil nicht mehr konstruierbar! - völlig verschwinden...

... und wenn Du magst, dann kannst Du Dir für solcherart gedachte gleichschenklige Dreiecke überlegen, was nach und nach mit dem Winkel an der Spitze bei \(P\) passiert, und wie sich ihre Flächeninhalte verändern. Wann werden sie maximal?

Viel Vergnügen ;)



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
haribo
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das wäre meine sparkonstruktion:
- P-M dritteln,
- wenn der innere drittelpunkt (rot) im kreis K liegt gibt es eine lösung
- der angegebene kreis mit r=1/3 P-M um den äusseren drittelpunkt geht durch A





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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-29


Eine Illustration zum "wandernden" Punkt \(P\)...



\(P\) "startet" in \(P_0\).
\(A_0\) und \(B_0\) fallen mit ihm zusammen.
\(P_0B_0\) durch \(A_0\) ist "Quasi-Tangente".
So fällt auch der erste "Quasi-Tangentialpunkt" \(T_0\)
mit \(P_0\) zusammen.
Nun "wandert" \(P\) bis \(P_X\).
"Weiter wandern" darf er nicht, wenn  \(\vert PA\vert =\vert AB\vert\)  gelten soll!
Die Tangentialpunkte \(T_{w1}\) und \(T_{w2}\) "wandern" dabei
entlang der Kreislinie \(k_M\) von \(P_0=T_0\) weg bis \(T_{X1}\) und \(T_{X2}\).
Die "Austrittspunkte" \(B_{w1}\) und \(B_{w2}\) der Sekante
"wandern" ebenfalls entlang der Kreislinie \(k_M\) von \(P_0=B_0\) weg,
bis sie schließlich für \(P_X\) "gegenüber" von \(P_0=B_0\)
im Punkt \(B_X\) zusammenfallen.
Die "Eintrittspunkte" \(A_{w1}\) und \(A_{w2}\) der Sekante
"wandern" ihrerseits zunächst auch entlang der Kreislinie \(k_M\)
von \(P_0=A_0\) weg, müssen dann jedoch ab bestimmten Positionen
\(A_{U1}\) und \(A_{U2}\) "umkehren", um einander schließlich für \(P_X\)
wieder in \(P_0=A_0\) zu treffen und dort ebenso zusammenzufallen.

Die genau Lage der "Umkehr-Eintrittspunkte" \(A_{U1}\) und \(A_{U2}\)
aufzufinden, bzw. zu konstruieren, ist sicher auch spannend... 😎


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Rurien9713, Deine interessante Frage hat mich veranlasst,
daraus für die "Rätsel- und Knobel-Ecke" eine neue Knobelei zu basteln ;)
Link** Eine penetrante Sekante


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