Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionen » Trigonometrische Formel auf beliebige reelle Winkel erweitern
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich Trigonometrische Formel auf beliebige reelle Winkel erweitern
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 292
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-27


Grundsatzfrage:
Wurde eine trigonometrische Formel an einer geometrischen Betrachtung bewiesen, z.B. wurde die Formel
$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$ am rechtwinkligen Dreieck hergeleitet;
dann sind alle auftretenden Winkel $a+b,~ a,~ b$ spitze Winkel (d.h. größer oder gleich $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$).

Wie zeigt man einfach, dass die Formel für beliebige reelle Winkel gilt?


Ich hatte mir das so überlegt:

· Wegen $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ gilt die Formel auch für stumpfe Winkel (d.h. größer oder gleich $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$)

· Wegen zusätzlich $\sin(y+2\pi k)=\sin(y)$ gilt die Formel auch für beliebige reelle Winkel.


Reicht diese Argumentation so?




Wahlurne Für Wario bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2576
Herkunft: Werne
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27


Hallo Wario,
am einfachsten zeigt man das wahrscheinlich mithilfe der Eulerschen Formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x$.

Ciao,

Thomas



Wahlurne Für MontyPythagoras bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 292
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27


2020-11-27 17:10 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1 schreibt:
am einfachsten zeigt man das wahrscheinlich mithilfe der Eulerschen Formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x$.

Das ist keine schlechte Idee. Ich wollte es aber möglichst im Reellen halten, damit es für weitere Jahrgangsstufen einsetzbar ist.



Wahlurne Für Wario bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1448
Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-27


fed-Code einblenden



Wahlurne Für Caban bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 292
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


2020-11-27 21:22 - Caban in Beitrag No. 3 schreibt:
fed-Code einblenden

Das ist m.E. nicht ganz mein Thema. Die Formel war auch nur exemplarisch genannt.

Ich habe die notwendigen Erläuterungen genannt. Die Frage ist, ob das so ausreicht.

2020-11-27 17:01 - Wario im Themenstart schreibt:
· Wegen $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ gilt die Formel auch für stumpfe Winkel (d.h. größer oder gleich $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$)

· Wegen zusätzlich $\sin(y+2\pi k)=\sin(y)$ gilt die Formel auch für beliebige reelle Winkel.




Wahlurne Für Wario bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
lula
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11187
Herkunft: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-28


Hallo
 ich verstehe die Frage nicht ganz, die Formel hat doch nichts mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun sondern galt und gilt schon immer für je 2 beliebige Winkel a und b, auch wenn bei einem Beweis den du vielleicht meinst auch mal rechte Winkel vorkommen .
bis dann, lula


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



Wahlurne Für lula bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 292
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


2020-11-28 00:33 - lula in Beitrag No. 5 schreibt:
 ich verstehe die Frage nicht ganz, die Formel hat doch nichts mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun sondern galt und gilt schon immer für je 2 beliebige Winkel a und b, auch wenn bei einem Beweis den du vielleicht meinst auch mal rechte Winkel vorkommen .

Das
2020-11-27 17:01 - Wario im Themenstart schreibt:
Wie zeigt man einfach, dass die eine trigonometrische Formel für beliebige reelle Winkel gilt?
ist eigentlich sowas wie eine Standardfragestellung.
   Diese wird meist im Einzefall geklärt. Aber das interessiert mich eben allgemein.
      Ich meine #1 hat das auch verstanden.
        Aber sobald man ein Beispiel nennt, gibt es scheinbar nichts mehr anderes im Universum.
Dann nimm von mir aus den trigonometrischen Satz des Pythagoras:
aus einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $c$ folgt sofort $
c^2 = (c \sin(\alpha))^2 + (c \cos(\alpha))^2$, d.h. $
 \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) =1$. Aber $\alpha$ ist grundsätzlich positiv und kleiner als $90^\circ$. Wie zeigt man (mit reeller Rechnung / Betrachtung), dass die Formel für beliebige reelle Winkel gilt.
Und das ist übrigens wieder nur ein willkürliches Beispiel - falls das unklar sein sollte -, d.h. ich möchte nicht den trigonometrischen Satz des Pythagoras auf irgendeine andere Weise herleiten, wo sich die Frage erübrigt.
In der Hoffung das es jetzt irgendwie klar geworden ist...
 



Wahlurne Für Wario bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3748
Herkunft: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-28


Hallo Wario,
das folgt aus dem Identitätssatz.

Viele Grüße,
  Stefan



Wahlurne Für StefanVogel bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2606
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-28


Auf Niveau 10. Klasse Gymnasium Hessen würde ich mit den Identitäten der trigonometrischen Funktionen arbeiten, die sich am Einheitskreis ablesen lassen.

Die Periodizität der Lösungen ist dann sofort klar und eine Erweiterung auf stumpfe Winkel kann man bspw. nachrechnen, indem man $\alpha=180^\circ - \beta$ substituiert.


PS.: Wie man mit dem Identitätssatz arbeiten soll, ohne überhaupt komplexe Zahlen, holomorphe Funktionen etc. definieren zu können, ist mir schleierhaft.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



Wahlurne Für DerEinfaeltige bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3748
Herkunft: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-28


@DerEinfältige: Hallo DerEinfältige, das geht mit der Black Box Methode. Man muss sich nur davon überzeugen, dass die trigonometrischen Funktionen holomorphe Funktionen sind, siehe zum Beispiel Holomorphe_Funktion#Ganze_Funktionen und Eigenschaften. Dann folgt daraus die Behauptung und braucht man sich überhaupt nicht darum zu kümmern, was überhaupt komplexe Zahlen, holomorphe Funktionen etc. sind.

Viele Grüße,
  Stefan



Wahlurne Für StefanVogel bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2606
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-28


1. Wie überzeugt man sich, dass die trigonometrischen Funktionen holomorph sind, ohne bspw. oberstufenanalytische Begrifflichkeiten zu gebrauchen?
2. Was nützt das, um relativ allgemein verschiedene, geometrische Identitäten - insbesondere jene, die auf nichtholomorphen Termen basieren und daher nur für reelle Argumente gelten - zu beweisen?


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



Wahlurne Für DerEinfaeltige bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3748
Herkunft: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-28


zu 1. Nachschlagen unter Beispiele für holomorphe Funktionen wie oben im Link "Ganze Funktionen"
zu 2. Das nützt soweit, dass man sich Beweisversuche für Identitäten holomorpher Funktionen ersparen und sich gleich um die Identitäten nichtholomorpher Funktionen kümmern kann, zum Beispiel \(|\sin(\alpha)|=\sin(\alpha)\).



Wahlurne Für StefanVogel bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9029
Herkunft: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-28


Stefan,

das ist ungefähr so aussagekräftig als wenn ich ein Dokument ausstelle, dass die Identitäten auch für beliebige Winkel richtig sind und mit Namen und Titel unterschreibe.

Otto Waalkes hat's mal so formuliert:
Es ist jetzt erwiesen, dass Rauchen unschädlich ist.
gez. Dr. Marlboro


Viele Grüße

Wally



Wahlurne Für Wally bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 292
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


Und es reicht nicht zu sagen, ich kann mit
$\sin(\pi-x)=\sin(x)$ und $\sin(y+2\pi k)=\sin(y)$ jeden Winkel $x$ bzw. $y$ auf einen spitzen Winkel zurückführen?





Wahlurne Für Wario bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3748
Herkunft: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-11-28


Die "überstumpfen" Winkel von 180° bis 360° sind nicht dabei wenn du diese mit zu "alle Winkel" zählst und der Kosinus wechselt schon bei 90° das Vorzeichen, \(\cos(\pi-x)=-\cos(x)\). Da muss man dann \(-\cos(x)\) in die Gleichung einsetzen und schauen, ob sie dann noch stimmt. Wenn du alle Quadranten so durchgehst und in die Gleichung einsetzt und nachprüfst, dann gilt das schon als Beweis. Nur allein <math>\sin(\pi-x)=\sin(x)</math> und <math>\sin(y+2\pi k)=\sin(y)</math> reicht nicht.



Wahlurne Für StefanVogel bei den Matheplanet-Awards stimmen
Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wario hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]