|
Autor |
Dichte einer Verteilung bestimmen |
|
julian2000P
Aktiv  Dabei seit: 25.10.2020 Mitteilungen: 80
 |
Hallo zusammen,
kann mir jemand mit einem Ansatz zu folgendem Übungsbeispiel weiterhelfen?
Wir betrachten die ZG $U$ und $V$ die beide unabhängig und stetig gleichverteilt auf $(0,1)$ sind. Ich soll nun die Dichte der Verteilung von (X,Y) bestimmen, wobei
$X:= \sqrt{-2 \log{U}} \cos(2\pi V)$ und $Y:= \sqrt{-2 \log{U}} \sin(2\pi V)$
Ich wäre über einen Hinweis, wie ich hier am besten anfangen soll, sehr dankbar.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
qzwru
Senior  Dabei seit: 24.09.2013 Mitteilungen: 390
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27
|
Hallo julian2000P,
betrachte den Diffeomorphismus
$f:(0, 1)^2 \to \mathbb R^2 \setminus \{(x, 0):\, x\geq 0 \}$, $f(u, v) := \begin{pmatrix} \sqrt{-2 \log(u)} \cos(2\pi v) \\ \sqrt{-2 \log(u)} \sin(2\pi v) \end{pmatrix}$.
Sei $\tilde B \in \mathcal B(\mathbb R^2)$ und $B := \tilde B \setminus \{(x, 0):\, x\geq 0 \}$. Dann ist $\mathbb P((X, Y) \in \tilde B) = \mathbb P( (U, V) \in f^{-1}(B))$. Nun verwende die Verteilung von $(U,V)$ und den Transformationssatz für Integrale.
(Wenn aus der Vorlesung eine Transformationsformel für Dichten bekannt ist, kannst du diese auch direkt verwenden.)
|
Notiz Profil
Quote
Link |
julian2000P
Aktiv  Dabei seit: 25.10.2020 Mitteilungen: 80
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27
|
Hallo qzwru,
danke für die rasche Rückmeldung. Werde mich an dem Ansatz mal versuchen.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
qzwru
Senior  Dabei seit: 24.09.2013 Mitteilungen: 390
 |     Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-27
|
Gerne, ich hab unter meinen Beitrag noch einen kleinen Zusatz in Klammern geschrieben der dir das Leben ggf. etwas leichter macht.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
julian2000P
Aktiv  Dabei seit: 25.10.2020 Mitteilungen: 80
 |     Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27
|
Hallo nochmal,
hat alles super funktioniert, habe nun als Dichte (falls ich mich beim Ableiten und der Determinante nicht verrechnet habe)
$|\det{df^-1}| = e^{-x^2-y^2} \frac{\pi}{2}$
erhalten. Danke nochmal!
|
Notiz Profil
Quote
Link |
qzwru
Senior  Dabei seit: 24.09.2013 Mitteilungen: 390
 |     Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-28
|
Das kann nicht stimmen, deine Funktion ist nicht normiert:
$\int_{\mathbb R^2} e^{-x^2 -y^2} \, \mathrm d \lambda_2(x, y) = \Big(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, \mathrm d x \Big)^2 = \pi$.
Ich habe die Dichtefunktion von $\mathcal N(0, E_{2})$ als Ergebnis, d.h. die Dichte ist bei mir
$\mathbb R^2 \to [0, \infty)$, $(x, y) \mapsto \frac{1}{2\pi}e^{-(x^2 + y^2)/2}$.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
julian2000P
Aktiv  Dabei seit: 25.10.2020 Mitteilungen: 80
 |     Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28
|
Ja danke, habe den Fehler schon gefunden.
|
Notiz Profil
Quote
Link |
julian2000P hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. | [Neues Thema] [Druckversion] |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen. Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|