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Analysis » Integration » Integral von e^(-ax)*h(x) existiert, falls h(x) Lebesgue-integrierbar ist
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Universität/Hochschule Integral von e^(-ax)*h(x) existiert, falls h(x) Lebesgue-integrierbar ist
ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-27


Hallo,

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Ich hab versucht, 2x partiell zu integrieren um irgendwie einen allgemeinen Ausdruck zu bekommen, wo ich dann möglicherweise die Integrierbarkeit von h(x) ausnutzen kann, aber das führt zu nichts. Daher hab ich erst mal keine weitere Ideen und freue mich auf Hilfe.





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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-27


Hallo ILoveMath3,

verwende z.B. einfach, dass eine messbare Funktion Lebesgue(!)-integrierbar ist, genau dann wenn ihr Betrag Lebesgue-integrierbar ist. Für den zweiten Teil würdest du ja gerne den Grenzwert ins Integral ziehen. Wann geht das?



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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-27


Bzgl dem 1. Teil:

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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-28


Das geht in die richtige Richtung, aber es muss nicht gelten, dass $e^{-ax}h(x) \leq h(x)$, denn $h$ kann auch negativ werden.

Ich habe die Formulierung "genau dann wenn" in meinem letzten Beitrag mit Absicht genutzt. Du musst zeigen, dass $\int_0^\infty |e^{-ax} h(x)| \, \mathrm dx< \infty$.

Falls dir die Aussage aus meinem letzten Beitrag nicht direkt klar sein sollte, solltest du dir auf jeden Fall noch einmal die Definition des Lebesgue-Integrals angucken. Dann solltest du dir auch deine Frage "ist $\int_0^\infty h(x) \, \mathrm dx < \infty$" selbst beantworten können. Wieso ist der Ausdruck "$\int_0^\infty h(x)\, \mathrm dx$" überhaupt wohldefiniert? Für eine messbare Funktion $f:[0, \infty) \to \mathbb R$ ist das Lebesuge-Integral $\int_0^\infty |f(x)| \, \mathrm dx$ immer definiert - entweder es ist endlich oder unendlich. Das Integral $\int_0^\infty f(x) \, \mathrm dx$ muss aber noch nicht mal definiert sein.



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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-28


Du kannst den Ausdruck $\int_0^\infty e^{-ax} h(x) \, \mathrm dx$ nicht gegen irgendwas abschätzen, wenn du nicht weißt ob er überhaupt definiert ist.

Wegen $|e^{-ax} h(x)| \geq 0$ für alle $x\geq 0$ ist das Integral $\int_0^\infty |e^{-ax} h(x)| \, \mathrm dx$ auf jeden Fall wohldefiniert - aber halt möglicherweise unendlich. Du hast dir richtig überlegt, dass $\int_0^\infty |e^{-ax} h(x)| \, \mathrm dx < \infty$. Daraus folgt aber (siehe oben), dass das Integral $\int_0^\infty e^{-ax} h(x) \, \mathrm dx$ existiert und endlich ist.

Ich würde dir wie gesagt empfehlen, dir noch einmal die Definition des Integrals anzugucken. Es gibt eben nicht nur die Möglichkeiten: Integral ist endlich oder Integral ist $-\infty$ oder $+\infty$, sondern es gibt auch die Möglichkeit "Integral macht überhaupt keinen Sinn". Zum Beispiel ist das Integral $\int_1^\infty \sin(x)/x \, \mathrm d x$ nicht als Lebesgue-Integral definiert (aber als uneigentliches Riemann-Integral). Ist unsere Funktion aber nicht-negativ so ist das Integral zumindest definiert - aber halt ggf. unendlich.



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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


Wir haben ein Lemma, welche uns solche Integrale abschätzen lässt, falls die beteiligten Integranden alle messbar sind. Sprich, wenn e^(-ax)*h(x) messbar ist (damit automatisch |e^(-ax)*h(x)| messbar), so darf ich diese Abschätzung machen. Aber vielleicht hab ich das ebenfalls nicht richtig verstanden, was denkst du darüber?




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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-28


Wie gesagt, es reicht nicht aus, dass eine Funktion messbar ist, damit man das Integral über diese Funktion bilden kann.

Was ist denn deiner Meinung nach $\int_0^\infty \sin(x) \, \mathrm dx$?



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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


Okay, ich hab dieses Lemma nicht richtig gelesen bzw. es galt nur für >>nichtnegative<< -messbare Funktionen. Allgemein darf ich erst abschätzen, sobald die messbaren Funktionen auch integrierbar sind.

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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-28


Hallo,

um zu begründen, dass $\int_0^{\infty}|\sin(x)|\,\mathrm dx=\infty$ gilt, musst du den Integranden nicht nach oben sondern nach unten abschätzen. Eine Abschätzung nach oben hilft hier leider nicht weiter.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


Da wüsste ich nicht wie - aber das ist nun nicht so wichtig, wenn alles andere in meinen vorherigen Beitrag sonst stimmt.



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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-28


Ich weiß leider nicht, ob ich dafür ein neuen Thread öffnen soll, aber wie kann ich noch zeigen, dass
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Schöne Grüße



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-11-29


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https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_majorisierten_Konvergenz



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


Okay, ich versuch das mal (hoffentlich richtig) anzuwenden:

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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-11-29


Das passt schon bis auf die noch offenen kleineren Details.


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Ja, damit ist die Definition der Stetigkeit der Funktion s(a) in einem beliebigen Punkt a erfüllt.


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So ist der verlinkte Satz von der majorisierten Konvergenz auch formuliert: Zuerst wird festgestellt, daß die Grenzfunktion f integrierbar ist, und erst dann wird das Integral dieser Funktion angewendet.


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Das hast du jetzt schon mehrfach im Thread geschrieben, stimmt aber nicht. Wenn der Betrag einer Funktion integrierbar ist, ist die Funktion selbst auch integrierbar. Die Umkehrung stimmt nicht. Wenn das Integral über h existiert und endlich ist, kann das Integral über den Betrag von h auch unendlich sein. Beispiel dafür ist eine Funktion h, die um die x-Achse pendelt und deshalb abwechselnd positive und negative Beiträge zum Integral liefert, die aber mit Absolutbetrag insgesamt Unendlich ergeben. Ich bin mir jetzt nicht mehr sicher, ob in dem Fall h integrierbar genannt wird oder nicht, weil das in Beitrag No.1 anders steht.


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Bin ich auch unsicher, ich würde das mit Produkt zweier messbarer Funktionen begründen (Messbare Funktionen).


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Das folgt aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion (und auch wieder Produkt zweier stetiger Funktionen, h(x) ist als Funktion von a betrachtet eine konstante Funktion und deshalb für festes x eine stetige Funktion von a). Also das kann man bei Unsicherheit schon mal genauer untersuchen aber danach auch ohne weiteren Kommentar annehmen.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29



Das hast du jetzt schon mehrfach im Thread geschrieben, stimmt aber nicht. Wenn der Betrag einer Funktion integrierbar ist, ist die Funktion selbst auch integrierbar. Die Umkehrung stimmt nicht. Wenn das Integral über h existiert und endlich ist, kann das Integral über den Betrag von h auch unendlich sein. Beispiel dafür ist eine Funktion h, die um die x-Achse pendelt und deshalb abwechselnd positive und negative Beiträge zum Integral liefert, die aber mit Absolutbetrag insgesamt Unendlich ergeben. Ich bin mir jetzt nicht mehr sicher, ob in dem Fall h integrierbar genannt wird.


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-11-29


Die majorisierende Funktion steht auch schon im Thread

2020-11-27 23:16 - ILoveMath3 in Beitrag No. 2 schreibt:
Bzgl dem 1. Teil:

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da musst du dir nur noch die letzte Frage dort beantworten. Wenn |h| integrierbar ist, ist dann auch h integrierbar?



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Irgendwie kann ich genau diesen Punkt wohl nicht verstehen wie man im Verlaufe des Threads schon gesehen hat..
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-11-29


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Linkabsolut integrierbar?



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Edit: Anscheinend haben wir die ganze Zeit mit der absoluten Integrierbarkeit gearbeitet.
Edit 2: Quatsch, unsere Definitionsmenge kann beliebig sein, muss nicht die Reelle Zahlen sein.





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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-11-29


Hier stand als dritte Auswahl h selbst, das ist aber auch Quatsch. |h| sollte eigentlich funktionieren.



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Edit: Ja, abs(h) war von Anfang an geplant und die Frage war die ganze Zeit, ob diese integrierbar ist. Und anscheinend nach unserer Definition ist sie das. Würdest du da zustimmen?


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2020-11-29


Ja nee, hab ich auch grad gemerkt. Ich muss langsamer antworten. Also |h| sehe ich als besten Kandidat bis jetzt.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-11-29


Deinem Edit stimme ich auch zu.



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ILoveMath3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29


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[Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]



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Jo okay, passt.



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qzwru
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2020-11-29 16:12 - StefanVogel in Beitrag No. 14 schreibt:
Das hast du jetzt schon mehrfach im Thread geschrieben, stimmt aber nicht. Wenn der Betrag einer Funktion integrierbar ist, ist die Funktion selbst auch integrierbar. Die Umkehrung stimmt nicht. Wenn das Integral über h existiert und endlich ist, kann das Integral über den Betrag von h auch unendlich sein. Beispiel dafür ist eine Funktion h, die um die x-Achse pendelt und deshalb abwechselnd positive und negative Beiträge zum Integral liefert, die aber mit Absolutbetrag insgesamt Unendlich ergeben.

Hallo Stefan,

das habe auch ich schon geschrieben (in Beitrag 1) und es stimmt auch. Wir haben es hier mit dem Lebesgue-Integral zu tun und bei diesem müssen Positiv- und Negativteil der Funktion beide unabhängig voneinander integrierbar sein. Zum Beispiel existiert das Integral $\int_0^\infty \sin(x)/x \, \mathrm dx$ als uneigentliches Riemann-Integral, aber nicht als Lebesgue-Integral.



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