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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Mengen und Stetigkeit
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Universität/Hochschule Holomorphe Mengen und Stetigkeit
Gent123
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  Themenstart: 2020-11-29

Moin, weiß hier jemand von euch, wie diese Aufgabe zu lösen ist? Die Funktion \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) sei stetig, und holomorph auf der Menge \( \{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re} z \neq 0\} \) Zeigen Sie, dass \( \int \limits_{\partial D} f(z) \mathrm{d} z=0 \) für alle Dreiecke \( D \subset \mathbb{C} \). (Hieraus wird später mit Moreras Theorem folgen, dass \( f \) auf ganz \( \mathbb{C} \) holomorph ist.) Hinweis: Schauen Sie sich zunächst Wegintegrale in dem Bereich mit Re \( z \geq 0 \) an; die Stetigkeil von \( f \) ist hier essentiell.


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29

Huhu Gent123, Du solltest schon eigene Überlegungen und Versuche darstellen, dann ist es auch einfacher Dir gezielt zu helfen. Vielleicht als Startpunkt: Gemäss des Tipps ist es sinnvoll, sich auf die Halbebene $H=\{z\in\mathbb{C} : \mathrm{Re} \: z \geq 0 \}$ zu beschränken. Liegt $D$ vollständig in $H^0 =\{z\in\mathbb{C} : \mathrm{Re} \: z > 0 \}$ so dürfte die Aussage klar sein. Führe den Fall, dass eine Dreiecksseite auf der reellen Achse liegt zunächst in den Fall über, dass nur (bis zu zwei) Eckpunkte eines ggf. deformierten Dreiecks auf der reellen Achse liegen. lg, AK.


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