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  Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks |
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Rurien9713
Aktiv 
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 209
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Ich soll zeigen, dass die folgende Formel die Fläche eines Dreiecks beschreibt:
F= (a^2+b^2-c^2)/4 * sin(gamma)/cos(gamma)
Ich weiß nicht genau, welchen Ansatz ich hier wählen sollte. Ob man hier mit der heronschen Flächenformel oder Sinus-/Kosinussatz arbeiten soll...
Danke für jede Antwort!
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viertel
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hi Rurien9713
Hast du das mal mit einem konkreten Dreieck ausprobiert?
$$F=\frac{a^2+b^2-c^2}{4} \cdot \tan(\gamma)$$
ist schlichtweg falsch.
Falsch! Also meine Aussage, daß die Behauptung im TS falsch ist.
Wenn man halt zu doof ist, die $\gamma$ gegenüberliegende Seite als $c$ zu nehmen😖
Gruß vom ¼
-----------------
 \(\endgroup\)
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Rurien9713
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Ich bin auch nicht darauf gekommen mit verschiedenen Rechnungen, habe aber die Formel nicht direkt an einem Dreieck ausprobiert. Was ich vielleicht hätte machen sollen.
Die Aufgabe lautet nun aber:
Zeigen Sie, dass für die Fläche F eines Dreiecks die oben genannte Formel gilt.
Also ist die Aufgabe einfach falsch gestellt? HIer kann man dann ja nicht viel zeigen...
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Diophant
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Herkunft: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo zusammen,
die Formel ist schon richtig. Um das einzusehen, kann man mit Hilfe des Kosinussatzes den Zähler folgendermaßen ersetzen:
\[a^2+b^2-c^2=2ab\cos\gamma\]
Nach ein klein wenig Kürzen steht dann da nichts anderes als die halbe Fläche eines Parallelogramms mit den Seitenlängen \(a\) und \(b\) und einem Winkel \(\gamma\).
@Rurien9713:
Du könntest uns dabei helfen, für dich zielführende Hinweise zu formulieren, indem du einmal präzise angibst, in welchem Zusammenhang du diese Aufgaben bearbeitest. Was steht da insbesondere an Vorwissen zur Verfügung, also was darf verwendet werden?
Das hat hier den ganz konkreten Hintergrund, dass man das ganze relativ einfach mit Vektoren angehen könnte.
Es geht aber natürlich auch ganz klassisch über eine trigonometrische Argumentation.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Wario
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-29
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2020-11-29 16:13 - Rurien9713 im Themenstart schreibt:
F= (a^2+b^2-c^2)/4 * sin(gamma)/cos(gamma)
Das geht so: beginne mit einer einfachen Grundformel und verwende darin trigonometrische Identitäten bzw. weitere trigonometrische Sätze.
$\begin{array}{l l l }
A = \frac12 bc \sin(\alpha)
&=\dfrac{bc \sin(\alpha)}{2} \cdot \dfrac{\cos(\alpha)}{ \cos(\alpha)}
&\longleftarrow~~ \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
\\[1em]
&= \dfrac{bc \cos(\alpha)}{2} \cdot \tan(\alpha)
&\longleftarrow~~
a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) ~~ \textsf{[Kosinussatz]}
\\[1em]
&= \dfrac{bc \cdot \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2} \cdot \tan(\alpha) \\[1.5em]
&= \dfrac{b^2+c^2-a^2}{4} \cdot \tan(\alpha)
\end{array}$
Also hat man für die die Dreiecksfläche, gemäß des sogenannten zyklischen Vertauschens, die Formeln
$A
~~=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4} \cdot \tan(\alpha)
~~=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4} \cdot \tan(\beta)
~~=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4} \cdot \tan(\gamma)$
Hinweis: Hier hat man alle drei Seitenlängen und einen Winkel. Eine ähnliche Formel benötigt nur die drei Seitenlängen:
$A=\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{4}$, siehe hier.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Rurien9713
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Hallo zsm.
Vielen Dank, dass mir hier so viele helfen wollen.
Also wir haben bisher noch keine Vektorbeweise oder ähnliches eingeführt, falls das die Frage war. Im Zusammnehang mit dieser Aufgabe haben wir den Sinus-& Kosinussatz eingeführt und außerdem den Satz des Heron zur Berechnung der Fläche.
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Wario
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-29
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2020-11-29 18:07 - Rurien9713 in Beitrag No. 6 schreibt:
Also wir haben bisher noch keine Vektorbeweise oder ähnliches eingeführt, falls das die Frage war. Im Zusammnehang mit dieser Aufgabe haben wir den Sinus-& Kosinussatz eingeführt und außerdem den Satz des Heron zur Berechnung der Fläche.
Was fehlt Dir jetzt noch in Beitrag No.5? Das ist einfach schlichte Formelarbeit; man braucht eben den richtigen Ansatz.
Ich habe mal noch zwei Zeilen ergänzt, falls es unklar sein sollte, dass man durch zyklisches Vertauschen alle drei möglichen Konstellationen für $a,b,c,\alpha,\beta,\gamma$ erhält.
PS: Ach so, vielleicht ist auch noch $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ unklar. Das habe ich mal zur Sicherheit auch noch ergänzt.
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Rurien9713
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Dabei seit: 27.11.2020
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Das ist sehr nett, aber den Rest habe ich mir tatsächlich dann erschließen können.
Nur der 1. Schritt mit dem cos/cos. Das kann man einfach machen weil es 1 ist und somit nichts verändert, oder? (vielleicht nicht perfekt ausgedrückt)
Aber vielen Dank auf jeden Fall für die Hilfe!
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Caban
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-29
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Hallo
Ja, durch cos/cos ändert sicht nichts. Ich würde mir aber einen Gedanken zu Gamma gleich 90° machen.
Gruß Caban
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Rurien9713
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-29
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Da dies dann 0 ist wäre es nicht möglich weiter zu rechnen, da man durch 0 nicht teilen kann.
Kann ich zu Beginn dann einfach definieren, dass es nicht 0 werden soll?
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-30
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Hallo
Ich würde schreiben, dass die Formel nicht für gamma gleich 90° gilt.
Gruß Caban
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Wario
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Mitteilungen: 336
| Beitrag No.11, eingetragen 2020-11-30
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Ich würde es einfach so aufschreiben:
$A =\begin{cases}
\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4} \cdot \tan(\gamma),
& \text{ falls }
\gamma \, \in \, ]0^\circ,~180^\circ[
\, \backslash \, \{90^\circ\} \\
\dfrac{ab}{2}, & \text{ falls } \gamma=90^\circ
\end{cases}$
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Rurien9713
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30
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