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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Stetige Grenzfunktion gleichmäßig konvergenter Funktionen		Druckversion
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Universität/Hochschule Stetige Grenzfunktion gleichmäßig konvergenter Funktionen
Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-29


Hallo!
Ich habe eine Frage zu dem Beweis zur Stetigkeit der Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktion.
Ich kenne bereits eine Beweismethode, doch wollte fragen, ob hier jemand eine schöne aber kurze Beweismethode kennt.
lg

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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-29


Es gibt in dem Fall nur einen Beweis (bis auf Umformulierungen). Er schreibt sich zudem automatisch hin, jeder Schritt ist erzwungen, vgl. hier.
 
Sei $X$ ein topologischer Raum, $Y$ ein metrischer Raum. Sei $(f_n : X \to Y)$ eine Funktionenfolge und $f : X \to Y$ eine Funktion mit $f_n \to f$ gleichmäßig, und jedes $f_n$ sei stetig. Dann ist auch $f$ stetig.

Beweis. Sei $x \in X$. Sei $\varepsilon > 0$. Es gibt ein $n$ mit $\sup_{y \in X} d(f_n(y),f(y)) \leq \varepsilon/3$. Weil $f_n$ stetig in $x$ ist, gibt es eine offene Umgebung $U$ von $x$, sodass $d(f_n(y),f_n(x)) \leq \varepsilon/3$ für alle $y \in U$. Für alle $y \in U$ folgt also $d(f(x),f(y)) \leq d(f(x),f_n(x)) + d(f_n(x),f_n(y)) + d(f_n(y),f(y)) \leq \varepsilon$, fertig.

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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Hallo,
super danke für diese Antwort!

Den Beweis kenne ich auch bereits, doch die Stelle an der ich auf die Umgebung schließe aufgrund der Stetigkeit, verstehe ich noch nicht ganz. Ist das eine Eigenschaft der Stetigkeit oder wie?

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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Und wird dabei dann die Dreiecksungleichnung angewendet oder wie?

Kannst du mir vielleicht die Abschätzungen und die Umgebungen etwas genauer erklären in dem Beweis weil ich den echt gerne komplett verstehen würde?

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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-30


1) Es ist die Definition von Stetigkeit. de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Funktion

2) Ja, Dreiecksungleichung.

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