1.) Zu aller erst mal die Frage: Ist die Menge $\{A,B\}$ eigentlich das selbe wie die Menge $A\cup B$ ?

2.) Nun zur von $M$ erzeugten Sigma-Algebra:
Also die folgenden Mengen sollte ja schonmal auf jeden Fall enthalten sein:
$\emptyset$, $M$, $M^{c}$, $X$. Sind das dann schon alle Elemente der von $M$ erzeugten Sigma Algebra?

Oder ist es doch viel komplizierter und anstatt $M$ müssen, jeweils $A$ und $B$ einzeln enthalten sein und auch deren Komplemente?
Dann müsste ja auf jeden Fall enthalten sein:
$\emptyset$, $A$, $A^{c}$, $B$, $B^{c}$, $A\cup B$, $(A \cup B)^{c} $, $X$.
Aber dann müssten ja auch alle abzählbaren Vereinigungen enthalten sein, wie z.B $A^{c} \cup B$ und wieder alle deren Komplemente und dann auch wieder alle Vereinigungen etc. Hat die Sigma Algebra dann etwa unendlich viele Elemente?

3.) Falls ich die von der gesamten Menge $X$ erzeugte Sigma Algebra suche, ist das einfach nur {$\emptyset$, $X$}?

Nein. Das sind zwei recht unterschiedliche Objekte. $\{A,B\}$ ist eine Menge, die zwei Elemente hat. Nämlich $A$ und $B$. Diese Elemente sind selbst wieder Mengen. Also $\{A,B\}$ ist eine Menge von zwei Mengen.

$A\cup B$ (wie ist das definiert?) ist die Vereinigung von zwei Mengen. Wie $A$ und $B$ 'aussehen' ist nicht bekannt, es sollen einfach Teilmengen von $X$ sein.
Die Elemente von $A\cup B$ sind Elemente von $X$.

Was ist denn $M$?

2020-11-30 11:19 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Also $\{\emptyset, A\cup B, A\cup B^c, A, B, A^c, B^c, A^c\cup B^c, X\}$ (wenn ich jetzt nichts vergessen habe.

Aber wir sind dann (in der Regel) immer noch nicht fertig. Jetzt haben wir nur noch mehr Mengen von denen wir Komplemente und Vereinigungen bilden können.

Sagen wir mal, $A=\{1,2\}$ und $B=\{2,3\}$, also die Elemente der Mengen sind natürliche Zahlen. Ist dann $\{A,B\}=\{\{1,2\}, \{2,3\}\}$ und $A\cup B = \{1,2,3\}$. Ist das so korrekt?

$M$ sollte so definiert sein wie ganz oben, also $M=\{A,B\}$. Und dann ist die Frage, ob die von $M$ erzeugte Sigma Algebra dann einfach nur die Menge $\{\emptyset, \{A,B\}, \{A,B\}^{c}, X\}$ ist oder das was wir dann weiter unten besprochen haben

Und dann lass uns mal ein ganz konkretes Bsp machen. Sei $X = \{1,2,3,4\}$ und $A=\{1,2\}$ und $B=\{3\}$ und $M=\{A,B\}=\{\{1,2\},\{3\}\}$. Wenn man jetzt die erzeugte Sigma Algebra sucht, wie würde die aussehen?

In der Aufzählung fehlt noch \(A^c\cup B\). Aber so viel mehr Mengen kommen nicht mehr hinzu. Wenn ich es richtig sehen, kommen noch \(A\cap B,A^c\cap B,A\cap B^c,A^c\cap B^c\) hinzu, und das war's dann auch schon.

Du musst mit der Notation aufpassen. Wenn du die von $M=\{A,B\}$ erzeugte Sigma-Algebra betrachtest, dann ist $M$ hier als Mengensystem zu verstehen. Sowas wie $\{A,B\}$ oder $\{A,B\}^c$ macht dann wenig Sinn, weil du ja $A,B\subseteq X$ hast, und die Mengen $\{A,B\}$ oder das Komplement davon in keinem Zusammenhang damit steht.
Aber ansonsten hat die Frage StrgAltEntf beantwortet.

2020-11-30 16:45 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
Aber muss man dann nicht auch noch weitere Vereinigungen mit diesen Mengen bilden, also z.B. $(A\cup B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)$ und eben von allen möglichen solcher Permutation die Vereinigungen bilden. Und dann davon wieder die Komplemente, und dann wieder neue Vereinigungen bilden damit etc.?

2020-11-30 19:41 - Gast123 in Beitrag No. 8 schreibt:
Gehen wir mal davon aus, dass $A$ und $B$ nicht disjunkt sind. Wäre dann das Dynkin System nur $D=\{\emptyset, A, A^{c}, B, B^{c}, X\}$?

Das kommt wohl drauf an. Es könnte ja sein, dass z. B. \(A^c\) und \(B^c\) disjunkt sind. Dann wüsste man noch \(A^c\cup B^c\) hinzunehemn.

2020-12-04 17:33 - Gast123 in Beitrag No. 12 schreibt:

Okay aber die Mengen in einem Dynkin System müssen nicht notwendigerweise disjunkt sein. Sondern für den Fall, dass es disjunkte Mengen im Dynkin System gibt, muss auch deren (disjunkte) Vereinigung im Dynkin System liegen. Ist das so korrekt?