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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktion mit Konjugation, Cauchysche Integralformel
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Universität/Hochschule J Holomorphe Funktion mit Konjugation, Cauchysche Integralformel
jlw
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  Themenstart: 2020-11-30

Hallo, ich habe mir mittlerweile an folgender Aufgabe wirklich komplett die Zähne ausgebissen und wäre dankbar für Tipps: Zeige, dass es keine holomorphe Funktion \(f:\mathbb{C}\mapsto\mathbb{C}\) gibt, für die \(f(z)=\bar z^2\) für alle \(z\in\mathbb{C}\) mit \(|z|=1\) gilt. Da die Aufgabe kurz nach der Cauchyschen Integralformel kam und man es hier ja mit einer Kreislinie zu tun hat, habe ich versucht, mithilfe der Formel einen Widerspruch herzuleiten: Wenn solch ein holomorphes f existieren würde, wäre ja auch \(g=f\cdot id_{\mathbb{C}}\) mit \(g(z)=f(z)\cdot z = |z|\cdot \bar z\) für \(|z|=1\) holomorph. Es gilt natürlich \(g(1)=1\). Mit der Integralformel und Wolframalpha erhalte ich aber \(g(x)=0\) für alle \(x\in]0,1[\) und somit einen Widerspruch zur Stetigkeit von g. Also wäre ich fertig, das Integral kriege ich aber einfach nicht ausgerechnet ohne Wolframalpha: \(g(x)=\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=1} \frac{|z|\cdot \bar z}{z-x} dz = \frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi} \frac{e^{-it}}{e^{it}-x} i\cdot e^{it} dt = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{it}-x} dt\). Da müsste jetzt halt 0 rauskommen für \(x\in ]0,1[\), ich sehe aber weder wieso, noch habe ich irgendeine Idee wie ich das ausrechnen kann. Kann mir jemand helfen bzw hat jemand eine Idee? Danke schonmal


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Red_
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-30

Hallo, ich habe mir nicht alles durchgelesen, aber deine Idee ist gut, welche mich auf folgende Idee gebracht hat: Betrachte die holomorphe ganze Funktion $f\cdot z^2$, integriere das entlang des Einheitskreises, Cauchy gibt dir 0 aus, aber mit der Bedingung sollte man $2\pi$ erhalten, wenn ich mich nicht irre. Kannst das ja mal überprüfen.


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jlw
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30

Okay, das kann ich nachvollziehen. Das heißt mein Widerspruch kommt hier im Endeffekt gar nicht durch die Integralformel, sondern den Integralsatz zustande. Im Nachhinein hätte man da wohl drauf kommen können, aber ich war wohl zu fixiert, irgendwie dieses Integral zu berechnen. Danke auf jeden Fall :)


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Red_
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-30

Hatte mich vertan. Mit $f\cdot z$ müsste es klappen, da es auf dem Einheitskreis dann $1/z$ ist und das Integral dadrüber bekanntlich $2\pi \cdot i$ ist.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-30

Huhu jlw, \quoteon(2020-11-30 11:09 - jlw im Themenstart) $\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=1} \frac{|z|\cdot \bar z}{z-x} \, dz$ \quoteoff es ist doch \(|z|=1\). Wenn du deinen Integranden dann noch mit \(z\) erweiterst und \(zz^*=|z|^2\) nutzt bekommst du: \(\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=1} \frac{|z|\cdot \bar z}{z-x}\, \dd z=\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=1} \frac{1}{z(z-x)}\, \dd z=\frac{1}{2\pi i x} \int_{|z|=1} \left(\frac{1}{z-x}-\frac{1}{z}\right) \, \dd z\) Gruß, Küstenkind


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