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Analysis » Folgen und Reihen » Umschreibung / Umrechnung Funktionsterm in Potenzreihe
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Universität/Hochschule J Umschreibung / Umrechnung Funktionsterm in Potenzreihe
Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-11-30


Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Wobei es jetzt erstmal um i) i) geht.

Da habe ich mir folgendes überlegt:
\[\frac{1}{x}=\frac{1}{1-q}\] \[q=1-x\] \[\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\sum_{n=0}^{\infty}{(1-x)}^n\] Nun gibt es aber noch die Anmerkung mit "um -1". Da habe ich dann einfach gesagt, das sei der Entwicklungspunkt.
Sprich es gilt:
\[\sum_{n=0}^{\infty}{(2-x)}^n=\sum_{n=0}^{\infty}{(1-x-(-1))}^n\] Aber hier kommt ja dann nicht mehr die ursprüngliche Funktion \(\frac{1}{x}\) raus.

Passt das?

LG
Spedex



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

überlege einmal so herum:

\[\frac{1}{x}=\frac{1}{x+1-1}=\frac{1}{-1+(x+1)}=-\frac{1}{1-(x+1)}\]
Erklärung: der Wert der Potenzreihe ist die darzustellende Funktion. Also habe ich den Funktionsterm so umgeformt, dass er dem Grenzwert der geometrischen Reihe so weit wie möglich ähnelt.

Jetzt bestimme die zugehörige geometrische Reihe und mache dir klar, warum das eine Entwicklung um \(x=-1\) ist.

Dein Ansatz ist wohl nicht zu retten (ich verstehe ihn auch nicht). Definitiv gilt bei dir an der Stelle \(x=-1\) dann \(q=2-(-1)=3\), womit die Reihe überhaupt nicht konvergiert...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Wieso ist das jetzt eine Entwicklung um -1? Ich sehe die Analogie zur allgemeinen Formel:
\[\sum_{n=0}^{\infty}{-{(1+x)}^n},\sum_{n=0}^{\infty}{a_n{(x-a)}^n}\] Sprich der Entwicklungspunkt ist hier gleich -1, das sieht man, aber sollte eine Entwicklung um -1 nicht sowas sein wie, dass die Funktion um 1 nach links verschoben ist?

LG
Spedex



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-11-30 19:48 - Spedex in Beitrag No. 2 schreibt:
Wieso ist das jetzt eine Entwicklung um -1? Ich sehe die Analogie zur allgemeinen Formel:
\[\sum_{n=0}^{\infty}{-{(1+x)}^n},\sum_{n=0}^{\infty}{a_n{(x+a)}^n}\] Sprich der Entwicklungspunkt ist hier gleich -1, das sieht man, aber sollte eine Entwicklung um -1 nicht sowas sein wie, dass die Funktion um 1 nach rechts verschoben ist?

Nein. In deinem allgemeinen Beispiel ist eine Funktion um die Stelle \(x=-a\) entwickelt. Allgemein sieht eine Entwicklung um einen Punkt \(x=a\) stets so aus:

\[f(x)=\sum_{n=n_0}^{\infty}a_n(x-a)^n\]
In deinem konkreten Fall solltest du besser nochmal ein Klammernpaar setzen, so dass das führende Minuszeichen nicht missverstanden werden kann.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Hm, ich weiß nicht genau was du meinst. Meinst du die Tatsache, dass ich \((x+a)\) geschrieben habe? Das habe ich danach direkt ausgebessert. Aber es wird ja weder nach links noch nach rechts verschoben, was in diesem Graph zu sehen ist:

Es müsste ja aber verschoben werden, wofür würde es sonst den Entwicklungspunkt geben?
LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

eine Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe um einen bestimmten Entwicklungspunkt hat nichts, aber auch gar nichts mit einer Verschiebung der betreffenden Funktion zu tun. Sondern einzig und allein mit der Lage des Konvergenzbereichs, sofern dieser endlich ist.

Es wird also für verschiedene Entwicklungspunkte immer der gleiche Funktionsterm beschrieben, aber für \(r<\infty\) eben jeweils auf einem anderen Intervall.

Da solltest du dich wirklich nochmal in die Grundlagen einarbeiten.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Schau ich mir allerdings die Funktion, von der es um i) i) geht, mit verschiedenen Entwicklungspunkten an, erhalte ich unterschiedliche Funktionen. Nämlich Funktionen, die nach links verschoben werden, wenn der Entwicklungspunkt größer wird. Wenn das einen Konvergenzbereich darstellt, wieso schaut das dann so aus, als würde die Funktion verschoben werden?

Bei i) ii), ist die Sinus Funktion ja sowieso 2 nach rechts verschoben. Wenn ich da jetzt einen Entwicklungspunkt von 2 "dazugebe", bewirkt das eine weitere angebliche Verschiebung, so schaut es doch ganz eindeutig danach aus.

LG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-11-30 20:22 - Spedex in Beitrag No. 6 schreibt:
Schau ich mir allerdings die Funktion, von der es um i) i) geht, mit verschiedenen Entwicklungspunkten an, erhalte ich unterschiedliche Funktionen.

Irrtum. Du erhältst natürlich für jedes Enwicklungszentrum eine andere Potenzreihe. Jede dieser Potenzreihen beschreibt den gleichen Funktionsterm, aber eben für \(r<\infty\) jeweils auf einem anderen Intervall.

Auf dem Intervall \((0,2)\) etwa hätten wir

\[\frac{1}{x}=\frac{1}{1+(x-1)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-(x-1))^n\]
Um \(x=2\), dann allerdings mit \(r=2\), also auf \((0,4)\) dagegen (ohne Rechnung):

\[\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{-(x-2)}{2}\right)^n\]

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-11-30 20:02 - Spedex in Beitrag No. 4 schreibt:
Hm, ich weiß nicht genau was du meinst. Meinst du die Tatsache, dass ich \((x+a)\) geschrieben habe? Das habe ich danach direkt ausgebessert. Aber es wird ja weder nach links noch nach rechts verschoben, was in diesem Graph zu sehen ist:

Es müsste ja aber verschoben werden, wofür würde es sonst den Entwicklungspunkt geben?
LG

Der Entwicklungspunkt ist die Stelle, in deren Umgebung die vorgegebene Funktion am Besten angenähert wird (je nach Grad der Reihenentwicklung).



-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-11-30


Danke für eure Antworten.

Wenn wir jetzt i) ii) betrachten.
Setze ich in die Sinus-Potenzreihen-Definition anstelle von \(x\)   \(x-2\) ein, so erhalte ich:
\[\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^n*\frac{{(x-2)}^{2n+1}}{(2n+1)!}\] Steckt hierbei jetzt schon der Entwicklungspunkt drinnen, oder muss ich ihn jetzt erst "dazugeben", also eigentlich abziehen, sprich:
\[\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^n*\frac{{(x-2-a)}^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^n*\frac{{(x-2-2)}^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^n*\frac{{(x-4)}^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
Liebe Grüße
Spedex



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Diophant
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Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

deine obige Frage zeigt zweierlei:

- du hast die Materie noch nicht wirklich durchdrungen
- du hast die Aufgabe i) (ii) nicht richtig verstanden.

Diese Aufgabe besteht darin, die Funktion \(\sin(x-2)\) um den Punkt \(x=2\) zu entwickeln. Und eben nicht die Sinusfunktion.

Dabei reicht es in der Tat aus, mit \(x-2\) in die Potenzreihe der Sinusfunktion einzugehen.

Also ist deine erste Version richtig.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Hallo, ja du hast Recht, das liegt mir wirklich kaum.

Ich beschäftige mich weiterhin damit.

Liebe Grüße und danke für die Hilfe.

Spedex



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Spedex
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03


Ok, ich hab mich jetzt nochmal damit beschäftigt.
Ich wäre gerne in der Lage, Funktionen in der Form
\[\frac{1}{x-1},\frac{1}{x+2},...\] zu Potenzreihen mit beliebigen Entwicklungspunkten zu transformieren.

Ich weiß, wie ich eine Funktion \(\frac{1}{x}\) mit beliebigen Entwicklungspunkt zu einer Potenzreihe mache.
Ich gehe dabei wie folgt vor, hier im Beispiel mit Entwicklungspunkt 2:
\[\frac{1}{x}=\sum{a_n*{(x-2)}^n}=\sum{a_n*y^n}\] Also wir sagen, dass die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 2 gleich einer anderen Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 entspricht. Denn davon kennen wir die Formel, nämlich \(\frac{1}{1-y}\).
Also sagen wir nun:
\[y=x-2,x=y+2\] \[\frac{1}{x}=\frac{1}{y+2}=?*\frac{1}{1-?}\] Und die Fragezeichen sind einfach zu ermitteln, in dem Fall:
\[\frac{1}{x}=\frac{1}{y+2}=?*\frac{1}{1-?}=\frac{1}{2}*\frac{1}{1-\left(-y\right)}\] Nun setze ich wieder ein:
\[\sum{a_n*y^n}=\frac{1}{2}*\sum\left(-\frac{y}{2}\right)^n=\frac{1}{2}*\sum{{(-\frac{1}{2})}^n*y^n}=\sum{\frac{1}{2}*\sum{{(-\frac{1}{2})}^n*{(x-2)}^n}}\] Fertig ist die Potenzreihe mit richtigem Entwicklungspunkt.
Diese Methode möchte ich auch bei Funktionen wie \(\frac{1}{x-1},\frac{1}{x+2},...\) verwenden, jedoch habe ich das bis jetzt noch nicht geschafft.
Wie muss ich hierbei vorgehen, wenn ich das gleiche Prinzip anwenden möchte?
Liebe Grüße
Spedex



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

das ist ja hier nur ein Spezialfall, dass man hier so einfach den Grenzwert der geometrischen Reihe verwenden kann. Das solltest du nicht versuchen zu verallgemeinern.

Sondern dir lieber die allgemeine Methode dahinter klar machen und einprägen.

Unbeantwortet möchte ich deine Frage aber auch nicht lassen.

Deinen ersten Fall \(\frac{1}{x-1}\) solltest du eigentlich selbst sehen.

Für \(\frac{1}{x+2}\) könnte man es so machen:

\[\ba
\frac{1}{x+2}&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+x/2}\\
\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+z}\\
\\
&=\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(-z)^n\\
\\
&=\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^n
\ea\]
Aber wie gesagt: das sind eher mathematische Taschenpielertricks. Es ist gut, wenn man sie drauf hat. Wichtiger jedoch ist die Grundidee dahinter. Denn wenn du bspw. so etwas wie die Quadratwurzelfunktion oder eine x-beliebige transzendente Funkton in eine Potenzreihe enwickeln musst: dann brauchst du dieses Grundprinzip, da helfen dann i.a. keine Tricks mehr.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Oh verdammt, ich hab vergessen zu erwähnen, dass der Entwicklungspunkt nicht 0 sein soll. Ist der Entwicklungspunkt 0, so kann man ja einfach, wie du es schon gemacht hast, die Funktion als Grenzwert der geometrischen Reihe umschreiben.
Könntest du das vielleicht bitte nochmal mit einem Entwicklungspunkt ungleich 0 zeigen?

Bezüglich der allgemeinen Form: Da hast du auf jeden Fall Recht. Aber wir haben nächste Woche sowieso Taylorreihen als Thema, und wenn das damit zusammenhängt, reicht es mir fürs erste (und dem Prof hoffentlich auch), wenn ich es nur mit der geometrischen Reihe kann.

LG
Spedex



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\[\ba\frac{1}{x}&=\frac{1}{c+(x-c)}\\
\\
&=\frac{1}{c}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-c}{c}}\\
\\
&=\frac{1}{c}\cdot\frac{1}{1-z}
\\
&=\frac{1}{c}\cdot\sum_{n=0}^n z^n\\
\\
&=\frac{1}{c}\cdot\sum_{n=0}^n \left(-\frac{x-c}{c}\right)^n
\ea\]
für ein Entwicklungszentrum \(x=c\neq 0\).

Beachte: der Konvergenzradius ändert sich hier mit der Lage des Entwicklungszentrums.

Und eigentlich hättest du dir das aus den bisherigen Überlegungen durchaus auch selbst zusammenpuzzeln können. Das soll kein Vorwurf sein, im Gegenteil. Aber du solltest dir in deinem eigenen Interesse angewöhnen, selbstständiger zu arbeiten. Ist jedenfalls mein Eindruck.

Du könntest das obige Prinzip ja jetzt einmal eigenständig auf den Fall

\[f(x)=\frac{1}{ax+b}\]
übertragen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03



So hab ich das jetzt, das sollte passen. Das ist jetzt zwar kein Faktor vor der Variablen, aber das sehe ich jetzt erstmal als nicht wichtig.

Das deckt zwar nicht den Fall ab, wenn c und b jeweils ungleich 0 sind, jedoch addiert gleich 0 sind, aber nehmen wir einfach mal, dass das auch nicht so wichtig ist.

Vielen Dank für die ausgiebige Hilfe!

LG
Spedex



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Hallo,

das ist ok. Die Substitution \(z=\frac{x-c}{b+c}\) ist in diesem Fall unnötig, da sie überhaupt nicht zur Anwendung kommt. Ich habe das der besseren Nachvollziehbarkeit wegen gemacht und dann auch benutzt (vergleiche!), aber man könnte es generell weglassen.

2020-12-03 20:17 - Spedex in Beitrag No. 16 schreibt:
Das deckt zwar nicht den Fall ab, wenn c und b jeweils ungleich 0 sind, jedoch addiert gleich 0 sind, aber nehmen wir einfach mal, dass das auch nicht so wichtig ist.

Den Fall muss man ganz einfach ausschließen, denn dann ist das nicht definiert. Also wenn du das in einer Aufgabenabgabe oder Prüfung machst, dann muss am besten am Anfang die Voraussetzung \(b+c\neq 0\) stehen.


Gruß, Diophant
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Sehr gut, Danke.


LG
Spedex



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