Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Polynome orthogonalisieren, Gewichtetes Skalarprodukt
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Polynome orthogonalisieren, Gewichtetes Skalarprodukt
Felixg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2020
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-01


Hallöchen :-)  Ich beschäftige mich zurzeit mit orthogonalen Polynome, weil mich fasziniert, auf was man für Polynome kommt. Man denke an die Legendre Polynome, Tschebyshew - Polynome usw.
Dazu habe ich mich über dieses Thema genauer informiert und die wichtigsten Sache herausgeschrieben. Ich tippe sie kurz hier ab und dann stelle ich meine Frage.


Definition
________
Ein gewichtetes Skalarprodukt über dem Raum der zweimal integrierbareb Funktion $L^{2}([a, b])$ auf dem Intervall $[a, b ] \subseteq \mathbb{R}$ sei definiert durch $(p, q) := \int\limits_{a}^{b} \omega(x) p(x) q(x) dx$
Dabei ist $\omega: [a, b] \rightarrow (0, \infty]$ eine integrierbare Gewichtsfunktion.

Satz
_____
Seien $H$ ein unitärer Raum und $S \subseteq H$ ein endlich dimensionaler Teilraum. Zu jeder Basis $B:= \{ v_{1}, \ldots, v_{n} \}$ von $S$ lässt sich ein OGS mit dem Gram - Schmidt - Algorithmus konstruieren:

$\varphi_{1} := v_{1}$ und für $k = 2, \ldots, n:$ $\varphi_{k} := v_{k} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} \frac{(v_{k}, \varphi_{i})}{(\varphi_{i}, \varphi_{i})}\varphi_{i}$


Auf einem Übungsblatt hatte ich dann folgende Aufgabe zu beweisen:

Formel von Rodriguez
__________________

Die bezüglich der Gewichtsfunktion $\omega(x)$ auf dem Intervall $[a, b]$  orthogonalen Polynome $p_{k}$ erfüllen $p_{k} = \frac{C_{k}}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (b - x)^{k} \right ]$, $C_{k} \in \mathbb{R}$


Den Beweis dieser Aufgabe kann ich. Ich habe gezeigt, dass die Polynome $p_{k}$ alle orthogonal zueinander sind.
Aber mir ist halt immer noch nicht klar, wie genau man auf diese Polynome kommt. Ich bin also eher an einer Herleitung interessiert.
Ist es möglich, diese Polynome herzuleiten oder ist es viel zu kompliziert? Weil nirgends finde ich eine Herleitung. Vielleicht hat man durch orthogonalisieren konkreter Polynome ein Muster erkannt und dieses Muster durch eine Formel ausgedrückt. Ich weiß es nicht.
Wie komme ich auf diese Polynome? Ich würde zunächst die Monombasis $B:= \{ v_{0} = 1, v_{1} = x, v_{2} = x^{2}, \ldots \}$ nehmen und diese bezüglich des obigen Skalarprodukts orthogonalisieren.
Das habe ich heute morgen ausprobiert, in dem ich $p_{1}$ ausrechnen wollte. Aber da kam ein ganz anderes Ergebnis dabei heraus.
Hat da jemand vielleicht eine Idee? Wäre für jeden Input dankbar.

Gruß, Felix



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Delastelle
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.11.2006
Mitteilungen: 1606
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01


Hallo Felixg!

Wenn Du etwas gerechnet hast, und es kam etwas anderes heraus als gewünscht, dann kannst Du doch die Rechnung präsentieren!
(So jetzt dürfen wieder andere...)

Viele Grüße
Ronald



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Felixg
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2020
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Hallo!


Erst einmal danke für deine Antwort :-)
Ja, gestern war mir das zu viel Tipp - Arbeit (war ziemlich spät).


Also ich schaue mir die ersten beide Polynome aus der Rodrigues - Formel an:


Für $k = 0$ erhält man:
 $p_{0} = \frac{C_{0}}{\omega(x)} \frac{d^{0}}{dx^{0}} \left [ \omega(x) (x - a)^{0} (b - x)^{0} \right ] = C_{0}$

Für $k = 1$ erhält man:
 $p_{1} = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \frac{d^{1}}{dx^{1}} \left [ \omega(x) (x - a)^{1} (b - x)^{1} \right ] = \frac{C_{1}}{\omega(x)}  \left (\frac{d}{dx} [\omega(x)  (x - a)] \cdot (b - x) +  \omega(x)(x - a) \cdot (- 1) \right ) = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left ( (\omega'(x) \cdot (x - a) + \omega(x) \cdot 1) \cdot (b - x) +  \omega(x)(x - a) \cdot (- 1) \right ) = \frac{C_{1}}{\omega(x)} \left (  \omega'(x) (x - a)(b - x) + \omega(x)  (b - x) -  \omega(x)(x - a) \right ) $



Jetzt müsste ich durch das Gram-Schmidt-Verfahren die selben Polynome erhalten.

Setze $\varphi_{0} = 1$.

Dann erhalte ich:

$\varphi_{1} = x - \frac{(x, 1)}{(1,1)} \cdot 1 = x - \frac{\int_{a}^{b} \omega(x) \cdot x \cdot 1 dx}{\int_{a}^{b} \omega(x) \cdot 1 \cdot 1 dx} \cdot 1 = x - \frac{[\int \omega(x) dx \cdot x]_{a}^{b} - \int\limits_{a}^{b} \int \omega(x) dx}{\int_{a}^{b} \omega(x) dx}$

Aber schon hier wird klar, dass ich irgend etwas falsch mache.


Es gilt $\varphi_{0} = 1$ und $p_{0} = C_{0}$.
Okay, die $1$ ist eine Konstante. Die kann man auch $C_{0}$ nennen.

Aber $\varphi_{1}$ sieht überhaupt nicht so aus wie $p_{1}$.
Was mache ich falsch?

Viele Grüße, Felix



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Delastelle
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.11.2006
Mitteilungen: 1606
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02


Hallo Felixg!

Eventuell kannst Du mal nach Beispielen für Dein Rodrigues und Gram-Schmidt suchen.
In Büchern und hier im Forum kannst Du vielleicht etwas finden.
Gram-Schmidt für Polynome habe ich in der Forumsuche gefunden.

Viele Grüße
Ronald



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
piquer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 476
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-02


Hallo Felix,

2020-12-01 21:05 - Felixg in Beitrag No. 2 schreibt:
Jetzt müsste ich durch das Gram-Schmidt-Verfahren die selben Polynome erhalten.

Nein, nicht unbedingt. Das kommt auf die Normierung deiner Polynome an. Die orthogonalen Polynome bzgl. des Gewichts sind nur eindeutig bis auf Multiplikation mit Konstanten, d.h. sie werden etwa nur dann eindeutig, wenn etwa deren Integral auf $1$ normierst oder die Polynome so skalierst, dass der Leitkoeffizient 1 ist. Damit die Formel von Rodrigues gilt, muss deine Gewichtsfunktion $\omega$ von spezieller Gestalt sein, siehe hier.
Ohne weitere Normierung (oder Ausnutzen der Symmetrie der Gewichtsfunktion und des Intervalls), kannst du nur sagen, dass $p_0$ eine Konstante und $p_1$ ein lineares Polynom ist. Das Gram-Schmidt-Verfahren und die Formel von Rodrigues liefern dir auch genau solche Polynome. Beachte, dass $\omega' / \omega$ eine spezielle Form haben muss. Die Konstante $C_1$ kannst du nun so bestimmen, dass, etwa bei Normierung des Leitkoeffizienten auf 1, beide Möglichkeiten dir dasselbe Polynom liefern.

Viele Grüße
Torsten



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Felixg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]