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Analysis » Topologie » Erklärung Beweis Cauchy-Kriterium (glm.)
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Universität/Hochschule Erklärung Beweis Cauchy-Kriterium (glm.)
Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-01


Hallo zusammen,

Kann mir hier vielleicht jemand die Teilschritte des Beweise im 2.Teil also der Rückrichtung erkläutern?



Danke!



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01


Hallo Rurien9713,

kannst du etwas konkreter werden, wo du hängst?

2.1 Man führt einen direkten Beweis.
2.2 Man schreibt die Bedingung auf, die gegeben ist.
2.3 Man folgert daraus zunächst, dass für beliebiges x in D $(f_n(x))$ eine CauchyFolge in C und damit konvergent ist und bezeichnet den Grenzwert mit $f$. Da x beliebig war, definiert das eine Funktion von D nach $\mathbb{C}$, von der nun noch gezeigt wird, dass $f_n$ gleichmäßig dagegen konvergiert.
2.4 Man hat in 2.2 bereits hingeschrieben: Es gibt $N$, sodass für alle $x\in D$ gilt: $|f_n(x)-f_m(x)|\leq \epsilon$ für alle $n, m \geq N$.
Damit folgt $|f_n(x) - f(x)| = |f_n(x) - \lim_{m\to\infty} f_m(x)| = \lim_{m\to\infty} |f_n(x) - f_m(x)| \leq \epsilon$ für alle $x\in D$ und für alle $n\geq N$, was die Definition davon ist, dass $f_n$ gleichmäßig gegen f konvergiert.

Hier war kaum Mehrinput drin, daher die Rückfrage: Wo bleibst du hängen?

Viele Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01


Hallo, danke für die hilfreiche Antwort 😄

Ich bin nur da hängengeblieben, wo von der Bedingung aus auf die Cauchy-Folge gefolgert wird. Ist dies laut Definition so oder ist es eine Eigenschaft der Cauchy-Folgen?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02


Das ist per Definition der Cauchyfolge, schreib sie mal auf  :)



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Also per Definition ist ja das was angenommen wird beim 2.Schritt:
||fn(x)-fm(x)||< Epsilon für alle x aus D und für alle m,n>N

Ist die Standardnorm hier nicht die Maximums- bzw. Supremumsnorm?

Oder ist hiermit der euklidische Abstand bezeichnet? D.h:
||x-y||= Wurzel(|xn-yn|)



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Oder lautet es dann folgendermaßen:

  ||fn-fm||<Epsilon
= Wurzel(|fn1-fm1|^2+...+|fnn-fmn|^2) >= |fnk-fmk|

Muss ich hiermit arbeiten oder liege ich gänzlich daneben?

Würde mich über jede Antwort freuen 😃



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02


Dazu hätte ich hier dann noch eine Frage.



Warum kann man sich die Grenze Epsilon/2 basteln?

Tun wir das dann nur um zu zeigen, dass es kleiner als epsilon dann ist und somit gleichmäßig konvergent?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-04


Das Problem wird/wurde bereits in
diesem Thread hier
diskutiert. Die Beantwortung der Fragen zum gleichen Beweis sollte nur in einem Thread stattfinden.



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