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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Vektorräume » (A^⊥)^⊥=A
Autor
Universität/Hochschule (A^⊥)^⊥=A
Math_user
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  Themenstart: 2020-12-01

Hallo zusammen Sei $E$ ein Hilbertraum und $ A \subset E$. Ich möchte aktuell zeigen, dass $(A ^{\perp})^{ \perp}=A$. Per definition gilt: $A^{ \perp}:=\{ y \in E: \forall x \in A, x\perp y \}$. Nun ist ja $(A ^{\perp})^{ \perp}=\{ y \in E: \forall x \in A^{\perp}, x\perp y \}$ aber ich sehe noch nicht gerade, wieso diese Menge $A$ sein soll. Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank für eure Hilfe.

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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01

Leicht zu sehen ist $A\subseteq(A^\perp)^\perp$. Und solange du nur die Voraussetzung $A\subseteq E$ hast, ist die umgekehrte Inklusion nicht notwendigerweise richtig. --zippy

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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-01

Das gilt genau dann, wenn $A$ ein abgeschlossener Teilraum ist. Für bel. Teilmengen gilt es natürlich nicht. Die eine Inklusion ist trivial, die andere folgt aus der Existenz der orthogonalen Projektion auf $A$. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

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Math_user
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-01

Wir haben ja, dass für all $A \subset E$, $A^{\perp}$ eine abgeschlossener Untervektorraum von $E$ ist. Hilft uns dies weiter für die andere Inklusion?

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Math_user hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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