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 gebrochen lineare Funktionen |
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shirox
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Guten Abend,
ich beschäftige mich momentan für einen Vortrag mit gebrochen linearen Funktionen, bin aber über die Passage im Buch ,die diese einführen soll, sehr verwirrt. Meistens finde ich zu gebrochen linearen Funktionen (Möbiustransformationen), Einführungen mit der GL(2,C), wieso hier also SL? Ihr merkt ich bin sehr verwirrt.
Ich verstehe nicht, wie aus der Bemerkung mit den 2x2 Matrizen die Funktion L(z) folgern soll.
Zweitens wollte ich fragen ob mit $ \pm \{1_2\}$ die Einheitsmatrix gemeint ist? und warum die Abbildung bijektiv ist, wenn ich das rausnehme?
Ich bin generell ein wenig überfordert mit Einführung, da mir PSL zuvor noch nicht begegnet sind.
Vielleicht könnt ihr mir helfen, ein wenig Klarheit in meinem Kopf zu schaffen. Natürlich weiß ich, dass ich Definitionen und ähnliches selber nachschlagen muss. Aber ich freue mich sehr auf eure Hilfe.
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Kezer
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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1) Wenn wir eine gebrochen-lineare Funktion korrespondierend zu einer Matrix $A \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$ gegeben haben, dann könnten wir genauso $\frac{1}{\det(A)}A \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$ nehmen ohne die gebrochen-lineare Funktion zu ändern (wir kürzen schließlich im Bruch nur mit $\det{A}$.)
2) Ja, mit $1_2$ ist hier die Einheitsmatrix gemeint. Die Bijektion erhält man, indem man die trivialen Elemente rausteilt, also in $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{C})$ landet. Genauer: Sei $G$ die Gruppe der gebrochen-linearen Funktionen, dann ist $\operatorname{SL}_2(\mathbb{C}) \to G$, indem man bloß die gebrochen-linearen Funktion korrespondierend zur Matrix nimmt, ein Gruppenhomomorphismus mit Kern $\{\pm 1_2 \}$. Nach Homomorphiesatz ist also $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{C}) = \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})/\{ \pm 1_2 \} \cong G$.
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-01
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Hallo shirox,
die Idee ist, dass die Möbiustransformationen unter der Verknüpfung eine Gruppe bilden (ich nenne sie mal $M$), und zwar so, dass wenn $\varphi_A$ die zur Matrix $A$ gehörende Möbiustransformation ist, dann $\varphi_A\circ\varphi_B=\varphi_{AB}$ gilt, und sodass die Einheitsmatrix auf die Identität abgebildet wird. Das heißt, die Zuordnung $A\mapsto\varphi_A$ ist ein Homomorphismus. Man muss sich jetzt noch überlegen, auf welcher Menge man diesen Homomorphismus überhaupt definiert. Grundsätzlich könnte man das auf $\operatorname{GL}(2,\C)$ machen. Dann bemerkt man aber, dass wenn zwei Matrizen $A,B$ sich nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, die beiden Matrizen dieselbe Möbiustransformation ergeben. Man kann also unter all den Vielfachen von $A$ auch einfach eine einzige wählen, um die Möbiustransformationen darzustellen. Unter den Vielfachen von $A$ ist mit Sicherheit auch eine Matrix mit Determinante $1$. Diese sollte man nehmen, denn die Matrizen mit Determinante $1$ bilden eine Gruppe, $\operatorname{SL}(2,\C)$, das heißt die oben definierte Zuordnung zwischen Matrizen und den zugehörigen Möbiustransformationen ist immer noch ein Gruppenhomomorphismus $\operatorname{SL}(2,\C)\longrightarrow M$.
Mit $1_2$ ist tatsächlich die Einheitsmatrix gemeint. Man nimmt die auch nicht einfach raus. Hier brauchst du ein bisschen Gruppentheorie: Der Homomorphiesatz besagt, dass wenn $f:G\longrightarrow G'$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist, dann $G'$ isomorph zu $G/\ker f$ ist. Wir haben hier ja auch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus $\operatorname{SL}(2,\C)\longrightarrow M$. Auf die Identität werden gerade die beiden Matrizen $\pm 1_2$ geschickt, der Kern dieses Homomorphismus ist also $\{\pm 1_2\}$. Nach Homomorphiesatz ist dann $M$ isomorph zur Gruppe $\operatorname{SL}(2,\C)/\{\pm 1_2\}$. Beachte, dass wir hier die Faktorgruppe bilden, mit einem $/$, und nicht die Menge $\{\pm 1_2\}$ herausnehmen. Das würde man mit $\backslash$ schreiben, und ist etwas völlig anderes.
Viele Grüße
Vercassivelaunos
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Funktionen' in Forum 'Funktionentheorie' von Vercassivelaunos]\(\endgroup\)
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02
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Nein, das gilt nicht. Allerdings gilt: Ist $\vector{z\\w}\in\C^2$, und $A\cdot\vector{z\\w}=\vector{a\\b}$ so ist $\varphi_A(\frac{z}{w})=\frac{a}{b}$.\(\endgroup\)
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shirox
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02
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2020-12-01 21:31 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo shirox,
Dann bemerkt man aber, dass wenn zwei Matrizen $A,B$ sich nur durch einen konstanten Faktor unterscheiden, die beiden Matrizen dieselbe Möbiustransformation ergeben.
Erstmal vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen. Ich wollte fragen, ob Du mir dabei helfen kannst, das nachzuvollziehen, oder wie man das leicht zeigen kann
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-02
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Sei $A=\matrix{a&b\\c&d}$ und $B=\lambda A=\matrix{\lambda a&\lambda b\\ \lambda c&\lambda d}$. Dann ist $\varphi_A(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ und
\[\varphi_B(z)=\frac{\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda d}=\frac{\lambda(az+b)}{\lambda(cz+d)}=\frac{az+b}{cz+d}=\varphi_A(z).\]\(\endgroup\)
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shirox
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-02
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vielen vielen Dank. Du hast mir echt sehr geholfen, das Thema langsam besser zu verstehen!
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Nuramon
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-02
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2020-12-01 21:15 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:
1) Wenn wir eine gebrochen-lineare Funktion korrespondierend zu einer Matrix $A \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$ gegeben haben, dann könnten wir genauso $\frac{1}{\det(A)}A \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$ nehmen ohne die gebrochen-lineare Funktion zu ändern (wir kürzen schließlich im Bruch nur mit $\det{A}$.) Damit man in $\operatorname{SL}_2(\IC)$ landet, sollte man aber $\frac 1 {\sqrt{\det(A)}}A$ betrachten.\(\endgroup\)
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Kezer
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| Beitrag No.8, eingetragen 2020-12-02
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Da hast du Recht, danke für den Hinweis!
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shirox
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-03
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Ich hätte nochmal eine Fragen, folgt die Surjektivität daraus, dass wir die Umkehrabbildung bestimmen könne, weil die Inverse immer existiert weil die Determinante nicht 0 ist ?
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.10, eingetragen 2020-12-03
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Die Surjektivität folgt im Wesentlichen aus der Definition: eine Möbiustransformation ist über ihre zugehörige Matrix definiert. Offenbar decken wir also jede Möbiustrafo ab, wenn wir jeder Matrix (bis auf skalare Vielfache, die ja dieselbe Transformation ergeben) ihre Möbiustransformation zuordnen.
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