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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz der Folge (2n² + 3n)/(4n² + 1)
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Universität/Hochschule J Konvergenz der Folge (2n² + 3n)/(4n² + 1)
AlexOne2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-04


Hallo zusammen,
es geht um diese Folge:

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Die Aufgabenstellung lautet:
Gegeben ist die Folge (an). Bestimmen Sie den Grenzwert a von (an) und zeigen Sie, dass zu jedem ε > 0 ein n0 = n0(ε) ∈ N existiert, so dass |an − a| < ε für alle n ≥ n0 ist.

Ich habe bereits den Grenzwert von 1/2 bestimmt, komme nun jedoch nicht weiter.

Vielen Dank für die Hilfe
Alex



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Dann bilde doch einmal die Differenz

\[\frac{2n^2+3n}{4n^2+1}-\frac{1}{2}\]
(bzw.: vereinfache sie), um damit in die Definition der Folgenkonvergenz einzugehen und das ganze - ggf. nach der einen oder anderen Abschätzung -  nach oben gegen \(\varepsilon\) abzuschätzen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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AlexOne2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


Ich habe mich noch einmal an eine Umformung gewagt, jedoch bin ich mir gerade zum Ende hin eher unsicher.

fed-Code einblenden

LG
Alex



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

nein, so funktioniert es nicht. Du musst diese Differenz nach oben gegen einen Term der Form \(\frac{a}{n}\) abschätzen, und diesen dann wiederum gegen \(\varepsilon\).

Tipp: ein Bruch wird größer, wenn man

- seinen Zähler vergrößert oder
- seinen Nenner verkleinert (er sollte dabei aber positiv bleiben).

Außerdem muss diese Abschätzung nicht für alle \(n\) gelten, sondern nur für fast alle.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Rundas2510
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-05


Hallo, also der Tipp von Diophant beschreibt die richtige Vorgehensweise.
Also bis zur Stelle
fed-Code einblenden
ist auch noch alles in Ordnung. Ab da würde ich persönlich schon damit anfangen nach oben abzuschätzen und mich dabei an Diophants Beitrag orientieren.

Liebe Grüße



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AlexOne2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Ich merke gerade, dass ich da wohl ziemlich auf dem Schlauch stand. Jetzt ist es mir jedoch klar geworden. Vielen Dank für Eure Hilfe :)

LG Alex



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