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Mathematik » Geometrie » Dreiecke in Sehnenviereck
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Universität/Hochschule J Dreiecke in Sehnenviereck
Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-05


Guten Abend,

in einer alten Klausur habe ich folgende Aufgabe gefunden:

ABCD sei Sehnenviereck. E sei Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD.
Nun soll gezeigt werden, dass die Dreiecke ABE und CDE ähnlich zueinander sind.

Zeigt man dies mithilfe des Peripherie-Zentriwinkelsatz oder zeigt man das anders?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05


Hallo

2020-12-05 17:31 - Rurien9713 im Themenstart schreibt:
Zeigt man dies mithilfe des Peripherie-Zentriwinkelsatz oder zeigt man das anders?

Hallo, ja, oder einfach nur mit dem Peripheriewinkelsatz.



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Alles klar danke. Ich versuch es dann mal.
Kann jemand vielleicht einen Anfang dafür hier reinstellen damit ich das später abgleichen kann?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-05


2020-12-05 17:44 - Rurien9713 in Beitrag No. 2 schreibt:
Kann jemand vielleicht einen Anfang dafür hier reinstellen damit ich das später abgleichen kann?

Versuch du doch mal den Anfang zu machen. Der Beweis ist sehr kurz und geht wahrscheinlich gar nicht über einen Anfang hinaus.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-05


Hier der Anfang:

Zeichne …

Mal im Ernst: abgleichen? Oder eher abschreiben?
Ganz im Ernst: ochen hat dir doch schon alles Notwendige gesagt.


-----------------
Bild



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Danke euch für die Hilfe ;)



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05


Also ich habe dies nun ausprobiert.

Ich habe 2 Ansätze hier wie man darauf kommt. Vielleicht kann mir jemand hier sagen, welcher von denen richtig aussieht.

Wir betrachten die Sehne BC und wissen nach dem Peripheriewinkelsatz, dass der Winkel CDB = CAB ist.
Von der Sehne AD aus erkennen wir, dass Winkel ACD = ABD.
Nun wollen wir aber zeigen, dass Winkel ACD= CDB und eben die anderen.
Kann man nun direkt darauf schließen oder fehlt da noch ein Zwischenschritt bzw. ist das komplett falsch :D

Oder sehen wir uns die Sehnen AB und DC an und gehen hier über die Nebenwinkel...?



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-06


Vielleicht überlegst du mal, unter welchen Bedingungen zwei Dreiecke ähnlich sind.



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Lisamayer98
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-12-06


bitte bitte



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-06


Bitte, bitte, …

Irgendwas mußt du doch in der Schule zu Dreiecken gelernt haben. Oder in [d]einem Buch finden.

Wann sind zwei kongruent?
Wie viele Informationen müssen gegeben sein, um ein Dreieck zu konstruieren?
In welchen Fällen klappt das nicht?

Lisamayer98 schreibt:
Zeigt man dies mithilfe des Peripherie-Zentriwinkelsatz oder zeigt man das anders?
Du kannst nicht wild mit irgendwelchen Sätzen spekulieren, wenn du gar nicht weißt, was du zeigen willst. Klar, ähnliche Dreiecke, aber welche Bedingung muß dafür erfüllt sein?



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Rurien9713
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06


Ich glaube, dass du gerade den Aufgabensteller mit Lisamayer98... verwechselst.
Lisameyer hat hier noch keinen hilfreichen Beitrag eingestellt und ich habe auch nicht bitte bitte geschrieben, sondern nur um Hilfe gebeten :)
Ich glaube die andere Person versucht hier nur zu provozieren.

Nun aber zur Aufgabe:
2 Dreiecke sind ähnlich wenn sie in 2 bzw. nach Summensatz dann in 3 Winkeln übereinstimmen.
Wir haben ja herausgefunden durch den Peripheriewinkelsatz dass die Winkel über der Sehne gleich sind.
Aber wenn wir vorher schon beschrieben, komme ich auf das Problem.
Meine Idee wäre vielleicht noch, dass man bei E ja einen Scheitelwinkel hat und somit noch einen Winkel der beiden Dreiecke gefunden hat die gleich sind.
Also hat man in jedem Dreieck 2 gleiche Winkel und daher muss auch der 3. Winkel gleich sind. Also sind die beiden Dreiecke ähnlich.

So in etwas?



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-12-06


Guten Morgen!

Sehnenviereck samt Diagonalen zeichnen. Punkte, Sehnen und Diagonalen beschriften. An den vier[!] Eckpunkten sind acht[!] Winkel entstanden. Von \(A\) aus Sehne \([BC]\) betrachten und den Betrachtungswinkel \(\alpha\) nennen. Die gleiche[!] Sehne \([BC]\) von Punkt \(D\) aus betrachten... Aha!? Gegen den Uhrzeigersinn nach und nach mit den verbleibenden Winkeln genauso verfahren. Wann waren zwei Dreiecke nochmal ähnlich? Aha!?

Im folgenden eine - durchaus ernst und wohlwollend gemeinte! - Grundausbildung:

1. Stelle an einem "Zirkel" eine feste Spannweite zwischen Nadel- und Zeichenschenkel ein.

2. Stich die Zirkelnadel an einem "Punkt" M ein und zeichne mit dieser Spannweite eine Linie einmal vollständig um M herum. Diese Linie nennst Du "Kreislinie" k. Da die Spannweite des Zirkels fest war, müssen sämtliche Punkte von k jeweils den gleichen Abstand zum Punkt M aufweisen! Das Gesamtgebilde nennst Du "Kreis", den Punkt M "Kreismittelpunkt.

3. Definiere einen "Vollwinkel" als dasjenige Winkelmaß, welches genau einmal vollständig um den Kreismittelpunkt M herumreicht.

4. Definiere eine Unterteilung des Vollwinkels in eine bestimmte Anzahl untereinander gleicher Einheiten und nenne sie "Winkelgrade". Wieviele nimmst Du? Na, schon in der Antike war der JahresZYKLUS eine "runde Sache". Er umfasst gut 365 Tage. Die Zahl 360 ist nur geringfügig kleiner und ganzzahlig durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar. Außerdem durch die erste Kubikzahl 8, die zweite Quadratzahl 9, die Anzahl 10 an Fingern, die Anzahl 12 an Mondzyklen im Jahr ("Monate") sowie weiterhin auch noch durch 15 und 18, also insgesamt durch die ersten sechs Zahlen, ihr jeweils Doppeltes und ihr jeweils Dreifaches. Schöner gings in der Antike nicht... Ergo: 360 Grad!

5. Zeichne eine gerade Linie und nenne sie "Gerade".

6. Stelle fest, dass zwei verschiedene Geraden einander in der Zeichenebene entweder an genau einer Stelle kreuzen, oder gar nicht.

7. Definiere das Einanderkreuzen zweier verschiedener Geraden als "schneiden" und den Ort der Kreuzung als "Schnittpunkt".

8. Definiere zwei verschiedene Geraden als "parallel", wenn sie einander nicht schneiden.

9. Zeichne zwei einander schneidende Geraden und einen Kreis um ihren Schnittpunkt. Schlussfolgere: a) Jede der beiden Geraden halbiert den Kreis in zwei "Halbwinkel" zu je 180°, weil sie eben gerade durch seinen Mittelpunkt verläuft. b) Jeweils zwei einander benachbarte Teilwinkel am Kreismittelpunkt, also jeweils zwischen den beiden Geraden, müssen zusammen einen solchen Halbwinkel von 180° ergeben, weil sie ja beide auf der gleichen Seite einer der beiden Geraden liegen. Solche Winkel nennst Du "Nebenwinkel". c) Jeweils zwei einander gegenüberliegende Teilwinkel am Kreismittelpunkt müssen gleich groß sein, weil sie sich ja jeweils durch einen gemeinsamen Nebenwinkel zu einem Halbwinkel ergänzen. Solche Winkel nennst Du "Scheitelwinkel".

10. Zeichne zunächst zwei parallele Geraden und dann eine dritte, welche die ersten beiden schneidet. Schlussfolgere: In Richtung der dritten Geraden müssen die jeweils mit den beiden ersteren, parallelen Geraden entstehenden Schnittwinkel richtungsbezogen gleich sein. Die gegeneinander verschobenen Winkel nennst Du "Stufenwinkel", die Scheitelwinkel der Stufenwinkel nennst Du "Wechselwinkel".

11. Zeichne nun eine vierte Gerade, welche zu keiner der vorherigen parallel ist, und welche eine der beiden Parallelen im gleichen Punkt schneidet wie die vorherige, dritte Gerade. Dann entsteht mit der anderen Parallele genau ein zusätzlicher, dritter Schnittpunkt. Das Gebilde, welches aus den drei Schnittpunkten und ihren Verbindungsstrecken entsteht, nennst Du "Dreieck". Die drei Punkte nennst Du "Eckpunkte" oder "Ecken", ihre Verbindungsstecken "Seiten". Schlussfolgere dann die - allgemeingültige! - "Innenwinkelsumme eines [ebenen!] Dreieckes"!

12. Zeichne einen Kreis und wähle auf der Kreislinie drei verschiedene Punkte derart, dass der Kreismittelpunkt IM Dreieck aus den drei Kreispunkten liegt. Jede der Dreicksseiten verbindet zwei verschiedene Punkte der Kreislinie miteinander. Solche Verbindungen nennst Du "Sehnen". Verbinde den Kreismittelpunkt mit den Ecken des Dreieckes. Es entstehen neun Winkel - sechs außen am Kreis und drei innen am Mittelpunkt. Schlussfolgere dann aus der Innenwinkelsumme eines Dreieckes zu speziellen Winkelverhältnissen! ("Zentriwinkelsatz")

13. Betrachte eine der Sehnen als gegebene Dreiecksseite. Verbinde den Kreismittelpunkt jweils mit beiden Endpunkten der Sehne, also mit den beiden bereits gegebenen Eckpunkten eines Dreieckes. Der am Kreismittelpunkt entstehende Winkel ist damit ebenfalls eindeutig gegeben!  Den dritten Eckpunkt des Dreieckes wählst Du nun beliebig auf demjenigen Teil der Kreislinie, welcher von der Sehne aus betrachtet auf ihrer dem Kreismittelpunkt zugewandten Seite liegt. Schlussfolgere dann aus dem Zentriwinkelsatz zur - allgemeingültigen! - Größe des "Peripheriewinkels" am dritten Dreieckspunkt! ("Peripheriewinkelsatz")

14. Erkenne den "Satz des Thales" als einen Spezialfall!

... Dass dann die reine Euklidische Geometrie beim "Beweisen" der "Strahlensätze" und damit bei "Ähnlichkeit" und "Kongruenz" leicht ins Trudeln gerät, hat erst David Hilbert konsequent aufgezeigt!



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Rurien9713
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Ist denn eine Argumentation mit dem Scheitelwinkel nicht auf möglich?

Denn dann müssten wir ja nur einmal den Peripheriewinkelsatz anwenden oder sehe ich das falsch?



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cramilu
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Jepp - ist sogar noch kürzer und damit besser!

Bei meiner Anleitung ging es mir darum, die vier paarweise auftretenden Winkel herauszustellen. Meine "Grundausbildung" dient meinen Nachhilfeschülern seit... dazu, wesentliches wie Festlegung(serfordernis) und Schlussfolgerung auseinanderhalten sowie grundsätzliches auch tatsächlich beweisen zu können. Als "geometrisch halbwegs fit" darfst Du Dich frühestens betrachten, wenn Du OHNE IRGENDWO ZU SPICKEN mindestens zwei verschiedene Beweisfiguren für den "Satz des Pythagoras" zeichnen UND erklären kannst...


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Rurien9713
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Super dann vielen Dank.😃



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