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 Kugelvolumen, Satz von Cavalieri |
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Majazakava
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 100
 |  Themenstart: 2020-12-05
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Hallo,
kann mir jemand bitte folgende Aufgabe erklären?
Sei B:={x\el\ \IR^2 : norm(x)_2<=1} die abgeschlossene Einheitskreisscheibe. Wir betrachten den Zylinder Z:=B\cross\ intervall(0,1), den Kegel K:={((1-t)x,t)\el\ \IR^n\cross\ \IR:0<=t<=1, x\el\ B} (mit B messbare Teilmenge von \IR^n) und die Halbkugel H:={x\el\ \IR^3 : norm(x)_2<=1,x_3>=0}.
(a) Zuzeigen: \lambda_2(K_y) + \lambda_2(H_(1-y)) = \lambda(Z_y) mit y\el\ \IR
Ich vermute man kann hier den Satz von Cavalieri anwenden? Ich verstehe aber generell nicht, wie man den Satz anwendet und was ich mit dieser Definition machen soll: A_y := {x\el\ \IR^n : (x,y)\el\ A}.
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Majazakava
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3646
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-05
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Hallo,
um diese Aussage zu zeigen, brauchst du nicht den Satz von Cavalieri nicht anwenden, aber eine Folgerung aus der Aufgabe a) ist eine Formel zur Berechnung des Kugelvolumens. Aber das ist in a) noch nicht gefragt.
$A_{z}$ ist der Schnitt von $A$ mit der Ebene die parallel zur $xy$-Ebene ist und auf der $z$-Achse durch den Punkt $(0,0,z)$ verläuft.
Also $H_{1-y}$, $K_y$ und $Z_y$ sind alles Kreise, da sie die Schnitte von einer Ebene mit einer Kugel, einem Kegel oder einem Zylinder sind.
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Majazakava
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 100
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-06
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Hallo,
wenn ich den Zylinder, den Kegel, die Halbkugel und den Kreis B in ein KOS einzeichne krieg ich das ganze mit dem Schnitt zu den parallelen Ebenen zur xz-Ebene nicht hin.
B wird bei mir von den xy-Achsen aufgestellt. Falls Du Dir das vorstellen kannst, dann wäre bei mir der "Boden oder Grundfläche" auf der xy-Ebene und der Zylinder und Kegel gehen in die "Höhe" durch die z-Achse. Dann wären die Schnitte (bei Z_y, K_y und H_(1-y)) keine Kreise, es sei denn ich schaue mir Z_z, K_z und H_(1-z).
Hab ich da einen Denkfehler? (Oder muss ich B auf der xz-Ebene liegen?)
Kannst Du mir das nochmal bisschen genauer erklären?
Danke im Vorraus
LG Majazakava
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7142
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-06
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Das $y$ in $K_y$ hat nichts mit der $y$-Koordinate zu tun. Das $y$ ist die letzte Komponente des Tupels $(x,y)$, wobei $x$ in diesem Fall zweidimensional ist.
Es ist zwar schön, dass hier $A_y$ formal definiert wird, aber ein bisschen Motivation (alle Punkte aus A, deren letzte Komponente gleich $y$ ist) wäre für's Verständnis nicht schlecht gwesen.
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