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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Wieso "rationaler" Punkt?
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Universität/Hochschule J Wieso "rationaler" Punkt?
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-07


Hi,

sei $R$ ein Ring, $A$ eine $R$-Algebra, und $X$ ein Schema über $\operatorname{Spec}{R}$. Dann heißen Elemente aus $$ X(A) = \operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}/R}(\operatorname{Spec}{A}, X)$$ $R$-rationale Punkte.

Wieso aber "rational"? Liegt es nur daran, dass $A = \mathbb{Q}, R = \mathbb{Z}$ ein wichtiger Spezialfall davon ist?


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-08


Wo hast du diese Sprechweise in der Allgemeinheit gefunden? Eigentlich heißen die Elemente $A$-wertigen Punkte von $X$. Man kann das auch umdrehen und in der funktoriellen algebraischen Geometrie zur Definition von Schemata benutzen, siehe z. B. hier.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-09


Wir hatten das in der Vorlesung, aber ehrlich gesagt war dort $K/k$ eine Körpererweiterung und $A = K, R = k$ - vielleicht war die allgemeine Formulierung so also nicht üblich.

Den Fall $A = K, R = k$ findet man auch z.B. in Vakil, S. 184. Er bevorzugt aber auch den Begriff der $A$-wertigen Punkte.

Trotzdem frage ich mich bereits hier, wieso man den Begriff eines "rationalen" Punktes eingeführt hat. Diesen findet man ja analog auch bei Varietäten wieder.

Danke für den Artikel, den wollte ich sowieso lesen.


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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-09


Ich habe den Eindruck, dass "rationale Punkte" eher im zahlentheoretischen Kontext vorkommen, denn da interessiert man sich für rationale Lösungen diophantischer Gleichungen, d.h. polynomiale Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Dies entspricht ja Punkten in $X(\IQ)$ ($\IQ$-wertige Punkte von $X$ wie du am Anfang beschrieben hast), wobei $X$ das schema das durch die Gleichung(en) beschrieben wird, s. [Liu, 2.3.28-2.3.32] oder allgemeiner [Görtz-Wedhorn, Example 4.3].



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-09


Was Saki17 schreibt wird auch beim genannten Wikipedia-Artikel angedeutet. Gibt es dann hier überhaupt noch Klärungsbedarf? Es ist ja auch nicht neu, dass mathematische Begriffe nicht immer komplett logisch sind. Sie sind historisch entstanden. Ich finde den Begriff der rationalen Abbildung in der algebraischen Geometrie noch schlimmer.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-10


Hmm, besser geht es wohl nicht. Danke euch zwei!


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