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Analysis » Maßtheorie » Integraltransformationen mit Borelmaßen
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Universität/Hochschule Integraltransformationen mit Borelmaßen
ILoveMath3
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  Themenstart: 2020-12-07

Hallo, \ (X,A,\mu) sei ein endlicher Maßraum, f:X -> [0,\inf] eine A-messbare Funktion und \nu:[0,\inf] ->[0,\inf[ ist ein Borel-Maß mit \nu(K) < \inf, wobei K eine kompakte Menge in [0,\inf[ ist. Man soll zeigen, dass \int(\nu([0,f(x)[) \mu(dx)) = \int(\mu( {x\in X: f(x) >t})\nu(dt)) wobei das erste Integral über X und das zweite Integral von 0 bis \inf geht. Leider verstehe ich nicht mal, warum man hier die Ausdrücke "\mu(dx)" und \nu(dt) hat und wie man mit denen überhaupt arbeitet bzw. was die genau bedeuten. So ist doch kein Integral definiert! Daher freue ich mich für jede Hilfe.

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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-07

Vielleicht kommst du mit der Schreibweise $\int \nu([0,f(x)[) \ d \mu(x)$ besser zurecht, das wäre eine alternative Schreibweise. Man integriert also $\nu([0,f(-)[)$ bzgl. $\mu$.

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ILoveMath3
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-07

Okay, wenn diese Schreibweise äquivalent ist mit deiner, dann macht es schonmal Sinn! Dennoch bräuchte ich einen kleinen Ansatz, denn ich weiß nicht, wie ich anfangen soll..

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ILoveMath3
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-08

Oder eine andere Frage: \ Wie kann ich konkret zeigen, dass h: X x [0,\inf[ -> [0, \inf], (x,t) -> h(x,t) = 1_([0,f(x)])(t) A x B([0,\inf[)- B([0,\inf]) messbar ist? Im Prinzip muss für alle D \in B([0,\inf]) gelten, dass h^(-1) (D) \in A x B([0,\inf[). Allerdings tue ich mich mit 2 Dimensionen schwer. Könnte ich das zeigen, so bin ich ein Schritt näher um Tonelli anzuwenden.

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