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 Projektionen: U1=U2 <==> p1∘p2=p2∘p1 |
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Schnubelub
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 |  Themenstart: 2020-12-08
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Hallo,
bitte bitte um Hilfe! ich muss folgende Aufgabe lösen:
In einem Vektorraum V seien U1 und U2 Komplemente von T. Ferner sei pi: V -> V die Projektion auf Ui in Richtung T für i=1,2. Zeige U1=U2 <=> p1∘p2=p2∘p1.
Ich habe mit dieser Richtung "<==" Probleme. Ich weiß nicht wie man zeigen, sollte, dass ein beliebiges u aus U1 auch in U2 ist und vice versa.
Mein Ansatz:
Sei u aus U1 beliebig. Dann gilt p1(u)=u, da p1 Projektion. Laut Voraussetzung gilt p1(p2(u))=p2(p1(u)). Also gilt p1(p2(u))=p2(u). Jetzt weiß ich leider nicht weiter wie ich zeigen könnte, dass u auch in U2 sein muss. Man weiß ja nicht wo p2(u) abbildet, kann in U2 gehen aber auch auf den Nullvektor.
Danke für die Hilfe. LG.
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Creasy
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-08
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Hi und willkommen aufm Matheaplaneten,
Was bedeutet es denn, dass $U_1$ und $U_2$ Komplemente von $T$ sind?
Kannst du $u$ damit anders darstellen und das in deine Gleichung einsetzen?
Viele Grüße
Creasy
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Schnubelub
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-08
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Hi Creasy,
danke für die Antwort.
Dass U1 und U2 Komplemente von T sind bedeutet, dass man aus der direkten Summe von U1/U2 + T den gesamten Vektorraum V bekommt. Direkt heißt, dass im Schnitt von T und U1/U2 nur der Nullvektor liegt.
Mein u ist ja aus U1. Das heißt es gibt, da T Komplement von U1, ein v aus V und ein t aus T, sodass v=u+t. Das heißt u=v-t. t müsste in diesem Fall aber der Nullvektor sein, da v ja entweder aus T oder aus U1 kommen muss. Also v=u
Da T auch Komplement von U2 ist, und ich das gleiche fixe v wie vorher nehme ist v=w+t, wobei w aus U2. Da es das gleiche v ist, ist entweder t=u oder w=u. t=u kann aber nicht sein, da U1 Komplement von T. Also ist w=u.
Stimmen meine Überlegungen..? Inwiefern benutze ich dann die Voraussetzung p1∘p2=p2∘p1?
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Creasy
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-08
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\quoteon(2020-12-08 13:44 - Schnubelub in Beitrag No. 2)
Dass U1 und U2 Komplemente von T sind bedeutet, dass man aus der direkten Summe von U1/U2 + T den gesamten Vektorraum V bekommt. Direkt heißt, dass im Schnitt von T und U1/U2 nur der Nullvektor liegt.
\quoteoff
Das ist korrekt (zumindest wenn du mit U1/U2 + T meinst: U1+T bzw U2 + T. Die Notation U1/U2 existiert ja auch..).
\quoteon
Mein u ist ja aus U1. Das heißt es gibt, da T Komplement von U1, ein v aus V und ein t aus T, sodass v=u+t. Das heißt u=v-t. t müsste in diesem Fall aber der Nullvektor sein, da v ja entweder aus T oder aus U1 kommen muss. Also v=u
\quoteoff
Das dagegen ist zwar nicht falsch, aber auch nicht zielführend. Wenn $V= T+U_2$ ist, dann kann man insbesondere dein $u\in U_1$ darstellen als $u= t+u_2$ mit $t\in T $ und $u_2\in U_2$. Was passiert nun, wenn du das in die Gleichung $p_1(p_2(u)) = p_2(u)$ einsetzt?
Grüße
Creasy
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Schnubelub
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-08
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Dann habe ich die Gleichung p1(p2(u2+t))=p2(u2+t). Da p2 Projektion auf U2, ergibt das p1(u2)=u2. Das bedeutet hingegen, da p1 Projektion auf U1, dass u2 in U1 sein muss. Und somit hat man ein u2 aus U2 gefunden, das auch in U1 sein muss. Da u2 beliebig, ist U2 Teilmenge von U1. Richtig so? :)
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Schnubelub
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Mitteilungen: 111
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-08
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Achja, wie bekomme ich diese fancy Formeln hin? Bei mir ist das schwer lesbar wenn ich es als Text eingebe...
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Creasy
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| Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-08
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\quoteon(2020-12-08 14:10 - Schnubelub in Beitrag No. 4)
Dann habe ich die Gleichung p1(p2(u2+t))=p2(u2+t). Da p2 Projektion auf U2, ergibt das p1(u2)=u2. Das bedeutet hingegen, da p1 Projektion auf U1, dass u2 in U1 sein muss.
\quoteoff
Bis hierhin korrekt.
\quoteon
Und somit hat man ein u2 aus U2 gefunden, das auch in U1 sein muss. Da u2 beliebig, ist U2 Teilmenge von U1. Richtig so? :)
\quoteoff
Das dagegen noch nicht ganz. Du hattest mit $u\in U_1$ gestartet und $u$ geschrieben als $u= u_2 + t$ mit $t\in T$ und $u_2 \in U_2$. Damit ist $u_2$ nicht beliebig gewählt sondern von $u$ abhängig.
Du kansnt aber $u=u_2 + t$ nach $t$ umstellen und ausnutzen, dass $T\cap U_1= \{0\}$ ist.
Grüße
Creasy
Du kannst sehen, was ich getippt habe, um die fancy Formeln zu bekommen, in dem auf "quote" klickst unter meinem Beitrag. Das ist Latex.
Alternativ kannst du beim Schreiben eines Beitrags einen fed-Bereich hinzufügen. (gibt dafür extra ein Button unter dem Eingabefeld.) Das würde dann so aussehen:
\
u_1\in U_1
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10900
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
\quoteon(2020-12-08 14:11 - Schnubelub in Beitrag No. 5)
Achja, wie bekomme ich diese fancy Formeln hin?
\quoteoff
Das geht mit \(\LaTeX\). Dazu gibt es unter dem Editorfenster zwei anklickbare Funktionen:
- [LaTeX-inline]: für Formeln innerhalb des Fließtextes
- [LaTeX-display]: für abgesetze Formeln (größer, zentriert).
Dazu müsstest du so die elementaren Latex-Befehle beherrschen.
Alternativ dazu gibt es noch eine hauseigene Lösung, den Formeleditor fedgeo.
Damit kann man auch teilweise per Maus arbeiten, und es gibt eine Vorschau.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Schnubelub
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-08
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Hallo Dophant! Hallo Creasy!
Danke für eure hilfreichen Antworten.
@Creasy:
\quoteon
Du kannst aber $u=u_2 + t$ nach $t$ umstellen und ausnutzen, dass $T\cap U_1= \{0\}$ ist.
\quoteoff
Das verstehe ich leider nicht ganz... Wie kann man so sehen, dass $u_2$ ein beliebiger Vektor ist?
LG
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Creasy
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Wohnort: Bonn
| Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-08
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\quoteon
Das verstehe ich leider nicht ganz... Wie kann man so sehen, dass $u_2$ ein beliebiger Vektor ist?
\quoteoff
Das wirst du auch nicht zeigen können. Grob zusammengefasst: Du startest mit $u\in U_1$ und möchtest zeigen, dass $u$ bereits in $U_2$ ist. Dafür schreibst du zunächst $u= u_2 + t$ mit $u_2\in U_2$ und $t\in T$. Hier sei mal angemerkt, dass es nur eine solche Darstellung geben kann. Wenn also $u$ wirklich in $U_2$ sein soll, dann muss die Darstellung so aussehen $u= u + 0$, mit anderen Worten muss man zeigen können, dass $t=0$ und damit $u=u_2$ ist.
Wir haben also $u= u_2 + t$ und wollen zeigen: $t=0$, bzw $u=u_2$. Du weißt schon $u_2$ ist in $U_1$. Dann liegt $t\in T$ wegen $t= u-u_2\in U_1$ in welcher Menge?
Grüße
Creasy
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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.10, eingetragen 2020-12-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,
hier ein anderer Ansatz, für den man keine Elemente betrachten muss:
(1) Um $U_1 = U_2$ zu zeigen, genügt es $p_1 = p_2$ zu zeigen.
(2) Aus $p_1 \circ p_1 = p_1$ und $p_1\circ p_2 = p_2 \circ p_1$ folgt $p_1\circ p_2 = p_1\circ p_2 \circ p_1$.
Also gilt $\im(p_2-p_2\circ p_1) \subset \ker p_1 = T$.
(3) Andererseits ist $\im(p_2-p_2\circ p_1) \subset \im p_2 = U_2$.
Wegen $U_2 \cap T = 0$ muss also $p_2 = p_2\circ p_1$ gelten.
(4) Zeige analog, dass $p_1 = p_1\circ p_2$ gilt und folgere $p_1=p_2$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]\(\endgroup\)
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Schnubelub
Aktiv
Dabei seit: 08.12.2020
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-08
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Ah verstehe, danke dir. Ich weiß, dass u und u2 beide in U1 sind. Daraus folgt u-u2 ist auch in U1. Also muss t=u-u2 in U1 sein. Der Schnitt von T und U1 ist 0, also muss t 0 sein damit die Gleichung erfüllt ist. Somit ist u=u2.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
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