| |
| Autor |
 Was sind die Achsen der Drehmatrix? |
|
LucasMaeder
Neu 
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2020-12-09
|
Hallo,
ich bin aktuell sehr verwirrt: wird bei einer Multiplikation von Drehmatrizen (Transformationsmatrizen) um die ursprüngliche Achse gedreht oder um die gedrehte Achse?
Beispiel:
Mein Koordinatensystem hat die Achsen:
\(x_0=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
\(y_0=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)
\(z_0=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Mein mitgedrehtes Koordinatensystem soll \(x_1\), \(y_1\) \(z_1\) heißen.
Meine erste Drehmatrix ist die Standarddrehmatrix um \(x_0\) :
\(D_x(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}\)
Diese Matrix \(D_x\) multipliziere ich nun mit \(D_y\)
\(D_y(\beta)=\begin{pmatrix} \cos(\beta) & 0 & \sin(\beta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\beta) & 0 & \cos(\beta) \end{pmatrix}\)
Wenn ich die zweite Drehung ausführe (Multiplikation): drehe ich dann um
1. die Ausgangsachse \(y_0\) ODER
2. die neue mitgedrehte Achse \(y_1\)
Die Frage stellt sich mir, weil bei der Betrachtung von Eulerwinkeln multipliziere ich jeweils Matrizen miteinander und drehe dabei stets (bei jeder Matrixmultiplikation) um die mitgedrehten Achsen. Folglich müsste die Antwort 2. richtig sein?
Andererseits habe ich gelesen, dass Drehmatrizen Abbildungsmatrizen von Drehungen bzgl. der Standardbasis seien. Daran würde sich auch nichts ändern, wenn davor andere Abbildungen ausgeführt würden.
Kann mir jemand in dieser misslichen Lage behilflich sein?
Vielen Dank und liebe Grüße
Lucas
|
 Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4982
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-09
|
Allgemein gilt: Wenn $D$ um die Achse $d$ dreht, dreht $ADA^{-1}$ und die Achse $Ad$, denn es ist $ADA^{-1}Ad=Ad$.
Eine Drehung $D_x(\alpha)D_y(\beta)$ kann man schreiben als$$
D_x(\alpha)D_y(\beta)=
\bigl[D_x(\alpha)D_y(\beta)D_x(\alpha)^{-1}\bigr]\,D_x(\alpha) \;.
$$Sie dreht also erst um den Winkel $\alpha$ um die $x$-Achse und dann um den Winkel $\beta$ um die duch $D_x(\alpha)$ bereits gedrehte $y$-Achse.
Beachte, dass sich in dieser Lesart die Reihenfolge der Drehungen umkehrt: $D_x(\alpha)D_y(\beta)$ dreht erst um $\alpha$ und dann um $\beta$.
--zippy
|
Profil
|
LucasMaeder
Neu
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-09
|
Danke zippy für die superschnelle Antwort:
Ok ich lese raus: Antwort 2 ist richtig?
Woher kommt dann "Andererseits habe ich gelesen, dass Drehmatrizen Abbildungsmatrizen von Drehungen bzgl. der Standardbasis seien. Daran würde sich auch nichts ändern, wenn davor andere Abbildungen ausgeführt würden."
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4982
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-09
|
\quoteon(2020-12-09 09:18 - LucasMaeder in Beitrag No. 2)
Ok ich lese raus: Antwort 2 ist richtig?
\quoteoff
Nein, es ist beides richtig, wenn du jeweils die passende Reihenfolge der Drehungen betrachtest.
Man kann also $D_x(\alpha)D_y(\beta)$ entweder lesen als- erst um den Winkel $\alpha$ um die $x$-Achse drehen und dann um den Winkel $\beta$ um die duch $D_x(\alpha)$ bereits gedrehte $y$-Achse
oder als - erst um den Winkel $\beta$ um die $y$-Achse drehen und dann um den Winkel $\alpha$ um die ursprüngliche (d.h. noch nicht gedrehte) $x$-Achse.
|
Profil
|
LucasMaeder
Neu
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-09
|
zippy- ich glaube ich bin etwas schwer von Begriff.
Die Reihenfolge ist doch durch
\(D_x(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} * D_y(\beta)=\begin{pmatrix} \cos(\beta) & 0 & \sin(\beta) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\beta) & 0 & \cos(\beta) \end{pmatrix} \)
fest vorgegeben. Da kann es doch nur eine richtige Lösung geben?
Tut mir Leid das ich es nicht schnalle.
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4982
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-09
|
\quoteon(2020-12-09 09:45 - LucasMaeder in Beitrag No. 4)
Die Reihenfolge ist doch durch ... fest vorgegeben.
\quoteoff
Fest vorgegeben ist das Produkt $D_x(\alpha)D_y(\beta)$.
Aber wegen $D_x(\alpha)D_y(\beta)=
\bigl[D_x(\alpha)D_y(\beta)D_x(\alpha)^{-1}\bigr]\,D_x(\alpha)$ kannst du dieses Produkt auf die beiden in Beitrag Nr. 3 angegebenen Arten lesen. Und diese beiden Lesarten unterscheiden sich dadurch, dass einmal zuerst eine Drehung um $\alpha$ und einmal zuerst eine Drehung um $\beta$ ausgeführt wird.
|
Profil
|
| LucasMaeder hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
