| |
| Autor |
  Bestimmen der direkten Summe von Untervektorräumen |
|
StrangeIntuition
Junior 
Dabei seit: 10.12.2020
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2020-12-10
|
Hallo lieber Matheplanet,
ich soll im aktuellen Übungsblatt folgende Aufgabe lösen:
In \IR^(4\cross\ 1) seien drei Unterräume U_1= [a], U_2=[{b,c}], U_3=[{b,a}] gegeben mit a=(0,1,1,0)^T, b=(1,0,0,1)^T ,c=(0,1,0,0)^T
Bestimme Basen von U_1+U_2, U_2+U_3, U_2+U_3.
Welche dieser Summen sind direkt?
Nun hätte ich mithilfe eines Satzes bereits gesagt:
U_1+U_2=[U_1 \union\ U_2]=[{a,b,c}]
U_2+U_3=[{a,b,c}] (analog zu oben)
U_1+U_2+U_3=[{a,b,c}] (analog zu oben)
des weitern habe ich gezeigt das a,b und c linear unabhängig sind.
Die Basen von U_1+U_2, U_2+U_3, U_1+U_2+U_3 wären somit immer [{a,b,c}].
Ist dieser Ansatz überhaupt korrekt?
Bei der Bestimmung der direkten Summe stecke ich nun jedoch fest,
wir haben in der Vorlesung einen Satz gezeigt welcher besagt das ein Unterraum S:=sum(U_i,i \el\ I), direkte Summe ist <=> $\forall$ x \in S: x = sum(u_i,i \el\ I) mit \ u_i \in U_i hat genau eine Darstellung
Nun bin ich mir recht sicher das mein folgender Ansatz falsch ist:
U_1+U_2 ist nicht direkt da
(1,1,1,1)^T=(1,0,0,1)+(0,b,1,0)+(0,c,0,0) mit b+c=1 mehrere Darstellungen hat bsp.: b=1/2 , c= 1/2 oder b= 1/3 , c= 2/3
Recht analog wären aber auch U_2+U_3 und U_1+U_2+U_3 nicht direkt daher denke ich das ich irgendwas nicht verstehe
Leider haben wir in der VO nur sehr einfache Beispiele durchgemacht i.e [(1,0)^T]+[(0,1)^T]=R^2 und sind klarerweise direkt da der Schnitt nur der Nullvektor ist
Ich bitte um eure Hilfe.
Vielen Dank!
|
 Profil
|
Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2011
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-10
|
Hey StrangeIntuition und Willkommen!
Du vertust dich nur an einer Stelle. Vektoren der Form \((0,x,1,0)\) sind für \(x \neq 1\) kein Vielfaches des Vektors \(a\), was du, glaube ich, aber gerade annimmst. (Die Bezeichnung \(b\) und \(c\) als Einträge in den Vektoren ist gerade ungünstig, da \(b,c\) ja zwei der Vektoren sind).
|
Profil
|
StrangeIntuition
Junior
Dabei seit: 10.12.2020
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-10
|
Hey Kampfpudel,
jetzt wo du das Offensichtliche aussprichst sehe ich erst das ich da keine Skalarmultiplikation sondern einen Vektor hinzu multiplizieren wollte.
So, das wär nun mein neuer Versuch:
S:=U_1+U_2 ist eine direkte Summe, da:
Sei s \el\ S bel.
s=(x_1, x_2, x_3, x_4)^T=(0, x_2, x_3, 0)^T+(x_1, 0,0,x_4)^T+(0,\gamma,0,0)^T
<=> (0,0,0,0)^T=(0,\gamma,0,0)^T
=> \gamma=0 => Darstellung eindeutig mit obigem Satz folgt Beh.
U_2+U_3:
Es gilt (1,1,1,1)^T \el\ U_2+U_3
aber: (1,1,1,1)^T=(1,0,0,1)^T+(0,1,1,0)^T+(0,0,0,0)^T+(0,0,0,0)^T
=(1/2 , 0,0, 1/2 )^T+(0,1,1,0)^T+(1/2, 0,0, 1/2 )^T+(0,0,0,0)^T
Daher ex. 2 verschiedene Darstellungen also nicht direkt.
Analog U_1+U_2+U_3
Eine Frage hätte ich noch:
Ich weiß das a,b,c linear unabh. sind und das
U_1+U_2=[{a,b,c}] ist.
um Basis zu sein muss [{a,b,c}] ES von U_1+U_2 sein
da [{a,b,c}]=[[{a,b,c}]] =>[{a,b,c}] ES von U_1+U_2 ich nehme mal an dieses triviale Argument würde dann vervollständigen, dass es sich um eine Basis handelt?
Vielen Dank für deine Hilfe!
|
Profil
|
Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2011
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-11
|
Bei \(U_1 + U_2\) hab ich noch was zu meckern. Du musst ja zeigen, dass für jedes \(s \in S\) die Darstellung \(s=u_1 + u_2\) für \(u_1 \in U_1\) und \(u_2 \in U_2\) eindeutig ist. Das \(u_1\) ist von der Form \(u_1= x \cdot (1,0,0,1)^T\) für ein \(x \in \mathbb{R}\), also von der Form \(u_1=(0,x,x,0)\). Ähnlich ist jedes \(u_2 \in U_2\) von der Form \(u_2= (y,z,0,y)\) für \(y,z \in \mathbb{R}\).
M.a.W.: Bei dir muss \(x_2=x_3\) sein sowie \(x_1=x_4\)
Der Beweis, dass die Summe \(U_2 + U_3\) nicht direkt ist, ist richtig. Man kann ihn aber sehr stark kürzen, denn offenbar ist \(b\) in beiden Räumen \(U_2\) und \(U_3\) enthalten.
\quoteon(2020-12-10 23:30 - StrangeIntuition in Beitrag No. 2)
Eine Frage hätte ich noch:
Ich weiß das a,b,c linear unabh. sind und das
U_1+U_2=[{a,b,c}] ist.
um Basis zu sein muss [{a,b,c}] ES von U_1+U_2 sein
da [{a,b,c}]=[[{a,b,c}]] =>[{a,b,c}] ES von U_1+U_2 ich nehme mal an dieses triviale Argument würde dann vervollständigen, dass es sich um eine Basis handelt?
Vielen Dank für deine Hilfe!
\quoteoff
Damit \(\{a,b,c\}\) eine Basis von \(U_1+U_2\) ist, muss \(\{a,b,c\}\) ES sein, also \([\{a,b,c\}]=U_1 + U_2\) gelten und das hast du doch schon
|
Profil
|
StrangeIntuition hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
StrangeIntuition hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | StrangeIntuition wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
