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 Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen messbar sind |
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Hundscheregel
Junior 
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 |  Themenstart: 2020-12-12
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Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53917_A21.PNG
laut Skript, dass wir verwenden ist eine Abbildung messbar, wenn diese stetig und monoton ist.
Bei Teilaufgabe a) bin ich mir nicht sicher, ob meine Lösung, dass f nicht stetig ist, richtig ist:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53917_L_A21.PNG
Bei Teilaufgabe b) würde ich mich über Hinweise freuen, wie ich diese Teilaufgabe lösen könnte, da ich etwas ratlos bin.
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ochen
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| Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-12
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Hallo,
natürlich ist $f$ nicht stetig, aber da heißt nicht, dass $f$ nicht messbar ist.
$f$ ist in genau zwei Punkten stetig, der eine ist in der Nähe von -0,58 und der andere in der Nähe von 2,22. Danach ist aber nicht gefragt.
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Hundscheregel
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-12
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Wie könnte ich dann zeigen, dass f messbar ist bzw. nicht messbar ist?
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ochen
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-12
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Hallo,
in der Aufgabenstellung steht ja schon, dass beide Funktionen messbar sein sollen.
Wann heißt eine Funktion messbar? Von welchen Mengen wird die $\sigma$-Algebra $\mathcal B(\mathbb R)$ erzeugt?
Eigentlich geht hier alles mit der Definition.
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Hundscheregel
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-12
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https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53917_L_A21_1.PNG
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ochen
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-12
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Hallo,
von welchen Mengen wird $\mathcal B(\mathbb R)$ erzeugt? Das steht da nicht :(
\quoteon
Von den Mengen $\mathbb R$ wird $\mathcal B(\mathbb R)$ erzeugt.
\quoteoff
ist kein sinnvoller Satz, da $\mathbb R$ ja nur eine Menge ist. Diese erzeugt ganz bestimmt nicht $\mathcal B(\mathbb R)$.
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Hundscheregel
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-12
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Ich würde sagen, dass folgende Mengen $\mathcal B(\mathbb R)$ erzeugen:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53917_L_A21_2.PNG
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ochen
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-12
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Das ist doch schon mal super. Es würden zum Beispiel aber auch alle offenen Intervalle mit rationalen Randpunkten reichen.
Wie sieht zum Beispiel $h^{-1}(A)$ für $A=(0,1)$ aus?
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Hundscheregel
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-12
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$h^{-1}(A)$ für $A=(0,1)$ sieht folgend aus würde ich sagen:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53917_L_A21_3.PNG
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ochen
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-12
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Das verstehe ich nicht. Mit $(0,1)$ meine ich das offne Intervall $\{x:0
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Hundscheregel
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-12
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Ich habe einfach falsch gedacht, deshalb war meine Antwort auch komisch...
Soweit ich weiß gilt: Urbilder offner Mengen sind offen. Also würde ich sagen, dass für $A=(0,1)$ $h^{-1}(A)$ = (0,1) gilt.
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ochen
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| Beitrag No.11, eingetragen 2020-12-13
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\quoteon(2020-12-12 21:52 - Hundscheregel in Beitrag No. 10)
Soweit ich weiß gilt: Urbilder offner Mengen sind offen.
\quoteoff
Das gilt nur für stetige Abbildungen. Wie du schon festgestellt hast, ist sie aber nicht stetig.
\quoteon
Also würde ich sagen, dass für $A=(0,1)$ $h^{-1}(A)$ = (0,1) gilt.
\quoteoff
Das stimmt leider nicht. Weißt du wie Urbilder definiert sind?
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Hundscheregel
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-13
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Die Definiton eines Urbilds ist folgend:
Das Urbild einer Menge A, ist die Menge der Elemente die durch eine Funktion
auf ein Element auf A abgebildet wird.
Bei einer Funktion f: B->C
ist das Urbild einer Teilmenge von C eine Teilmenge von B.
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ochen
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| Beitrag No.13, eingetragen 2020-12-13
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Ok, was ist dann das Urbild von $\{1\}$?
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Hundscheregel
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-13
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Brauch ich hierzu nicht eine funktion wie z.b. f:A->B
um sagen zu können, dass $\{1\}$ \subsetequal\ B die Menge aller Argumente x\el\ A ist,
die durch f auf $\{1\}$ abgebildet werden.
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| Beitrag No.15, eingetragen 2020-12-13
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Ja genau, ich möchte von dir wissen, was das Urbild von $\{1\}$ unter der Abbildung $f$ aus der Aufgabenstellung ist.
Du musst in der Aufgabe etwas mit Urbildern von bestimmten Mengen unter der Abbildung $f$ machen.
Also, was ist $f^{-1}(\{1\})$? Danach sehen wir weiter...
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Hundscheregel
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-13
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Für $f^{-1}(\{1\})$ würde ich sagen, dass gilt:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53917_L_A21_4_1_.PNG
wobei ich mir bei dem Urbild von log(|x|) unsicher bin.
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| Beitrag No.17, eingetragen 2020-12-13
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Kannst du bitte tippen? Sonst ist es total blöd zu zitieren. Du bist mit vielen Begriffen wie Urbild oder der Menge der rationalen Zahlen noch unsicher.
Was soll $|x|$ sein? Im Urbild stehen konkrete Zahlen. Es gilt $f^{-1}(\{1\})=\{-e,e\}$. Für $x\in \{2k\pi+\frac{\pi}{2}:k\in \mathbb Z\}$ gilt doch $x\notin \mathbb Q$ und somit $f(x)=\ln|x|$.
Was eben hier stand, war falsch.
Seien
\[
\begin{align*}
&f_1\colon\mathbb Q\to\mathbb R,\, x\mapsto \sin(x)\\
\text{und}\qquad&f_2\colon\mathbb R\setminus\mathbb Q\to\mathbb R,\, x\mapsto \ln|x|,
\end{align*}
\]
betrachte $f_1^{-1}(I)\cap\mathbb Q$ und $f_2^{-1}(I)\cap(\mathbb R\setminus\mathbb Q)$. Wie geht es weiter?
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Hundscheregel
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-13
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Ich habe |x| geschrieben da ich nicht ln(|x|) betrachtet habe, sondern log(|x|). Wegen ln(|x|) ist mir auch nun klar geworden, wie man auf $f^{-1}(\{1\})=\{-e,e\}$ kommt.
-betrachte $f_1^{-1}(I)\cap\mathbb Q$ und $f_2^{-1}(I)\cap(\mathbb R\setminus\mathbb Q)$. Wie geht es weiter?
\quoteoff
Dafür bin ich etwas ratlos, wie ich hier weiter verfahren soll. Tut mir Leid.
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