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 Dimension des Vektorraums und Unterraumkette |
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StrangeIntuition
Junior 
Dabei seit: 10.12.2020
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2020-12-12
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Hallo lieber Matheplanet,
leider hänge ich bei einer Aufgabe fest und hoffe das Ihr mir weiterhelfen könnt:
Es seien V ein Vektorraum und entweder I={0,1,...n} \subsetequal\ \IN mit n>=0 oder I= \IN.
Eine Familien ( U_i )_(i \el\ I) von Unterräumen U_i\subsetequal\ V heißt eine aufsteigende Unterraumkette in V, falls U_(i-1) \subset\ U_i für alle i \el\ I \\ {0}
Zeige:
a) V ist genau dann unendlichdimensional, wenn es in V eine aufsteigende Unterraumkette ( U_i )_(i\el\ \IN) gibt.
b) Es gilt genau dann dim V =n <\inf , falls in V eine aufsteigende Unterraumkette ( U_0 , U_1 , ... , U_n ) , aber keine aufsteigende Unteraumkette ( U_0 , U_1 , ... , U_n , U_n+1) existiert.
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Nun hätte ich a) folgendermaßen versucht:
" => "
Sei A_0 = \0 gehe nun Schrittweise wie folgt vor:
Entweder gilt: A_0 ist max. linear unabhängig
(Falls, dies der fall ist so gilt : dim(V)=abs(A_0)=0 => Widerspruch da dim(V)= \inf )
Oder es gilt: Es gibt ein m \el\ V \\ A_0 : A_1 := A_0 \union\ {m} ist l.u
Dieser Überlegung ist nun mit A_1, A_2... zu wiederholen.
Nun gibt es 2 Fälle:
1. Fall: Das verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab, also \exists\ k \el\ \IN : A_k ist max l.u
(da dann jedoch folgt : dim(V) ist endlich folgt daraus ein Widerspruch )
2.Fall: Verfahren bricht nicht ab => wir erhalten unendliche Folge A_0 \subset\ A_1 \subset\ ....... von l.u Mengen, keine davon ist max. l.u
Da hier nur der 2. Fall eintreten kann gibt es l.u Mengen welche nicht endl. viele El. haben
Man betrachte nun eben diese Mengenfolge.
da nun die Hülle von A_i also [A_i ] mit Lemma aus VO ein Unterraum ist =>
[ ( A_i )_(i \el\ \IN) ] ist Unterraumkette .
Da die Rückrichtung mit der Kotraposition direkt aus b) folgt zeigen wir nun zuerst b)
b) "=>"
Funktioniert analog zu a)
Wobei wir nun, da dim(V)=n, genau n mal obiges Verfahren durchführen können womit wir die UR-Kette (U_0, U_1,..., U_n) bekommen.
Angenommen (U_0, U_1,...,U_n, U_(n+1) ) wär Unterraumkette => dim(V)=n+1 => Widerspruch.
"Rückrichtung" zu b) \(\textbf{Hier habe ich nun das eigentlich Problem}\)
Hat eventuell jemand eine Idee wie ich das zeigen kann?
Ich bitte um eure Hilfe und eventuelle anmerkungen falls etwas nicht korrekt ist.
Vielen Dank
Lg
Mathias
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