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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Kann man Cartier-Divisor als Differenz zweier effektiven schreiben?
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Universität/Hochschule Kann man Cartier-Divisor als Differenz zweier effektiven schreiben?
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-14


Hallo,

die Frage ist einfach zu stellen: Sei $X$ ein noethersches Schema und $D$ ein Cartier-Divisor auf $X$. Ist es möglich bzw. unter welche Annahmen ist es möglich, dass es effektive Cartier-Divisors $D_1, D_2$ gibt, sodass $D=D_1-D_2$?

Eine offensichtliche Bedingung ist, dass $X$ regulär ist, denn dann Weil-Divisors=Cartier-Divisors und die entsprechende Aussage ist klar für Weil-Divisors.

Nachtrag zu den Definitionen von Divisors. Ich folge [Görtz-Wedhorn].

Def. zu (effektiven) Cartier-Divisors sind in [GW, Def. 11.24] zu finden.
Def. zu Weil-Divisors seht [GW, Def. 11.34] (man verlangt keine weitere Bedingungen außer Noetherschheit an das Schema, auf dem sich die Weil-Divisors befinden).

Es gibt immer einen Homomorphismus von der Gruppe der Cartier-Divisors zur Gruppe der Weil-Divisors.

2. Nachtrag. Wenn $X=Spec(A)$ affin ist (A noethersch), dann ist solche Zerlegung immer möglich (CartDiv(A) ist die Gruppenkomplettierung vom kommutativen Monoid effektiven Cartier-Divisoren)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-14


Ein paar Ideen dazu (ich habe noch keine Antwort):

Weil die Gruppe der Cartier-Divisoren zur Gruppe der invertierbaren gebrochenen Ideale isomorph ist (11.12.1), wobei die effektiven Cartier-Divisoren den invertierbaren Idealen entsprechen (11.25), reicht es damit zu argumentieren.

Sei also $I$ ein invertierbares gebrochenes Ideal auf $I$, also ein invertierbarer $\mathcal{O}_X$-Untermodul von $\mathcal{K}_X$. Betrachte das Ideal

$J := \{a \in \mathcal{O}_X : a I \subseteq \mathcal{O}_X\},$
 
anschaulich die "Nenner" von $I$. Formal definieren wir $J$ als das Urbild des invertierbaren Moduls $\underline{\mathrm{Hom}}(I,\mathcal{O}_X)$ unter dem natürlichen Homomorphismus $\mathcal{O}_X \to \underline{\mathrm{Hom}}(I,\mathcal{K}_X)$, womit auch die Quasikohärenz begründet ist.

Die Frage ist, ob $J$ invertierbar ist.

In dem Fall wäre nämlich $L := IJ \subseteq \mathcal{O}_X$ ein invertierbares Ideal (die "Zähler" von $I$) mit $I = LJ^{-1}$, wie gewünscht.

Weil die Konstruktion von $J$ offensichtlich lokal auf $X$ ist, dürfen wir dazu annehmen, dass $X=\mathrm{Spec}(A)$ affin und $I$ frei ist, etwa $I = \langle a/b \rangle$ mit $a/b \in \Gamma(X,\mathcal{K}_X) = \mathrm{Frac}(A)$ (totaler Quotientenring). Dann besteht $J$ aus den Elementen $c \in A$ mit $c \cdot a/b \in A$, also $ca = xb$ für ein $x \in A$. Eigentlich wollen wir, dass dann $c$ (zumindest lokal) ein Vielfaches von etwas ist, aber das scheint i. A. nicht folgerbar zu sein. Vielleicht kann man so ein (universelles) Gegenbeispiel konstruieren.



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-14


Danke für den Ansatz.

Die Frage ist, ob $J$ invertierbar ist.
Ein trivialer Gedanke: Also wenn $X$ ein dedekindsches Schema ist, dann ist die Frage mit "Ja" zu beantworten, denke ich, aber Dedekindschheit ist noch stärker als Regularität...

Zu meiner eigenen Motivation interessiere ich mich für den Fall wenn $X$ ein algebraisches Schema ist, d.h. Schema von endlichem Typ über einem Körper. Für projektives algebraisches Schema $X$ erinnere ich mich an folgendes Resultat.

Für jedes Geradenbündel $L$ auf $X$ gibt es zwei very amplen Geradenbündel $L_1, L_2$ (auf $X$), sodass $L\cong L_1\otimes_{\mathcal{O}_X}L_2^{\otimes(-1)}$. (ich kenne das deutsche Wort für "very ample" nicht)

Es ist vielleicht wohl bekannt, aber ich weiß noch nicht, ob very ample mit Effektivität etwas zu tun hätte. (wenn $X$ sogar integral ist, dann haben wir $CartDivCl(X)\cong Pic(X)$ via $D\mapsto \mathcal{O}_X(D)$. Im Fall wenn $L\cong  \mathcal{O}_X(D)$ ein very amples Geradenbündel ist, müsste das Cartier-Divisor $D$ schon effektiv sein?)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-14


Wenn es so speziell wird, kann ich nicht helfen. Ich glaube, man kann mit relativ einfachen (auch algebraischen) Schemata Gegenbeispiele bauen.

Leider ist die Invertierbarkeit von $J$ nur hinreichend, nicht notwendig. Betrachte das Beispiel $A = K[T^2,T^3]$, $I = \langle T \rangle \subseteq \mathrm{Frac}(A)$ (Erzeugnis als $A$-Modul). Dann ist $J = \langle T^2,T^3\rangle$ nicht invertierbar (daher dachte ich erst, dass das ein Gegenbeispiel für deine Frage ist), aber $I = \langle T^3 \rangle \cdot \langle T^2 \rangle^{-1}$.

Zur Übersetzungsfrage: sehr ampel



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-14


Vielleicht interessiert dich Lemma 6.8 hier: Wenn $D$ ein Cartier-Divisor auf einer Varietät $Y$ über einem Körper ist, dann gibt es ein eigentliches Modell $\phi : Z \to Y$ und effektive Cartier-Divisoren $D',D''$ auf $Z$ mit disjunkten Trägern und $\phi^*(D) = D' - D''$.

Ich habe jetzt noch Lemma 6 hier gefunden. Für affine Schemata gilt es also. Aber das war mir eigentlich auch schon vorher klar, fällt mir gerade wieder ein. (Hier ist sogar jeder Cartier-Divisor die Differenz aus einem effektiven Cartier-Divisor und einem Hauptdivisor; sowas kann man aber i. A. natürlich nicht erwarten.)

Korollar 15.27 in Görtz-Wedhorn ist der Fall einer absoluten Kurve (also Noethersch und rein von Dimension $1$; nicht notwendig regulär).



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-15


Bevor ich ins Bett möchte ich noch eine Aufgabe (soll von [Liu] sein) zur Effektivität und Ampelheit(?) erwähnen: math.stackexchange.com/questions/781382/showing-that-a-power-of-an-ample-sheaf-is-equivalent-to-an-effective-cartier-div

(Deine letzte Antworten lese ich noch genauer nach.)



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-02


2020-12-14 23:56 - Triceratops in Beitrag No. 4 schreibt:
Vielleicht interessiert dich Lemma 6.8 hier: Wenn $D$ ein Cartier-Divisor auf einer Varietät $Y$ über einem Körper ist, dann gibt es ein eigentliches Modell $\phi : Z \to Y$ und effektive Cartier-Divisoren $D',D''$ auf $Z$ mit disjunkten Trägern und $\phi^*(D) = D' - D''$.
Das lässt mich an den Beweis vom sog. Commutativity Theorem vom Fultons Schnitttheorie erinnern (Case 3 of Theorem 2.4). Sei $D$ ein Cartier-Divisor auf einem integralen algebraischen Schema $X$; betrachte die "Idealgarbe des Zählers (EN: ideal sheaf of denominators)" $I(D)$. Sei $\pi: X'\to X$ die Aufblasung des $X$ entlang $I(D)$. Man kann zeigen, es gibt einen effektiven Cartier-Divisor $C$ auf $X'$, sodass $\pi^*D=C-E$, wobei $E$ die Ausnahmesivisor ist.

2020-12-15 00:51 - Saki17 in Beitrag No. 5 schreibt:
Bevor ich ins Bett möchte ich noch eine Aufgabe (soll von [Liu] sein) zur Effektivität und Ampelheit(?) erwähnen: math.stackexchange.com/questions/781382/showing-that-a-power-of-an-ample-sheaf-is-equivalent-to-an-effective-cartier-div
Die Aufgabe von Liu (Exercise 7.1.9) besagt folgendes. Sei $X$ ein quasi-projektives Schema über einem noetherischen Ring. Sei $L$ ein amples Geradenbündel auf $X$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $m>0$ so, dass $L^{\otimes m}\cong O_X(D)$ und $D$ effektiv ist.

Mit einer analogen Aussage wie im Beitrag#2 ([Liu, 7.1.31]) ist die Frage am Anfang zum Teil geklärt.

Ihr seid eingeladen, allgemeinere Aussagen hier zu posten :).



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