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| Autor |
 Was ist mit der 1? |
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Bekell
Aktiv 
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3140
 |  Themenstart: 2020-12-18
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Ich rechne gerade mit Anzahlen und Möglichkeiten von Primfaktoren.
Wenn jede Zahl durch ihre Primfaktorzerlegung eindeutig definiert ist, was ist dann die 1? Ist es keine Zahl? Denn sie hat keine PF.
Wenn ich jetzt computermäßig die Menge der Primfaktoren einer Folge berechne, in der die 1 enthalten ist, dann fehlt die 1 regelmäßig, obwohl sie Factor ist, wenn auch kein Primfaktor. hm schädlich ist sie nicht, nur komplizierend....weil sie die Anzahl um 1 unsicher macht.
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2780
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-18
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Hallo
Ich würde das einfach so sehen, alle Zahlen außer 1 lassen sich als Primfaktoren darstellen. 1 selbst ist natürlich eine Zahl, aber keine Primzahl mehr.
Gruß Caban
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10496
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Bekell,
wenn man den Hauptsatz so formuliert, dass er für alle (positiven) natürlichen Zahlen gilt, dann ist bei den Primfaktoren der Exponent 0 zugelassen. Die Primfaktorzerlegung der 1 ist dann einfach
\[1=\prod_{p\in\mathbb{P}}p^0=2^0\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot\dotsc\]
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Sonstiges' von Diophant]\(\endgroup\)
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Bekell
Aktiv
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3140
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-18
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\quoteon(2020-12-18 10:59 - Diophant in Beitrag No. 2)
Hallo Bekell,
wenn man den Hauptsatz so formuliert, dass er für alle (positiven) natürlichen Zahlen gilt, dann ist bei den Primfaktoren der Exponent 0 zugelassen. Die Primfaktorzerlegung der 1 ist dann einfach
\[1=\prod_{p\in\mathbb{P}}p^0=2^0\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot\dotsc\]
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Sonstiges' von Diophant]
\quoteoff
Dann hat die 1 ja unendlich Primfaktoren, die nicht Primzahlen sind :-)
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10496
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-18
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\quoteon(2020-12-18 11:29 - Bekell in Beitrag No. 3)
Dann hat die 1 ja unendlich Primfaktoren, die nicht Primzahlen sind :-)
\quoteoff
Nein, auch dann hat die 1 keinen Primfaktor (Stichwort: leeres Produkt). Sie besitzt aber dennoch eine eindeutige Primfaktorzerlegung (bzw. nicht dennoch, sondern gerade deshalb).
Gruß, Diophant
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pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2401
Wohnort: Thüringen
 | Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-18
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Vor vielen Jahren Bekell, argumentierte ich mal bzgl 1.
"Wäre Eins eine Primzahl, dann ist es die einzige Primzahl, weil jede andere natürliche Zahl den Primfaktor Eins hätte. Das stünde im Widerspruch, dass Zahl N gleichzeitig Primzahl und keine Primzahl wäre."
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Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1108
| Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-18
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\quoteon(2020-12-18 10:53 - Bekell im Themenstart)
Ich rechne gerade mit Anzahlen und Möglichkeiten von Primfaktoren.
Wenn jede Zahl durch ihre Primfaktorzerlegung eindeutig definiert ist, was ist dann die 1?
\quoteoff
Gab es das nicht schon öfter?
Definiere einfach die Primzahl anders:
Du weißt (*) 1|a und a|a,
jede nat. Zahl a>1 hat also mindestens zwei verschiedene Teiler.
=> Definition: Eine Zahl mit genau zwei verschiedenen Teilern heißt Primzahl.
Satz: Primzahlen sind solche Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind.
Beweis: Folgt direkt aus der Definition und (*).
Die 1 hat nur einen Teiler, sich selbst, ist also per Definition keine Primzahl. Fertig.
Wozu das Ganze? Weil man sonst fast alle entsprechenden Sätze umständlich umformulieren müsste, z.B. "Für alle Primzahlen, mit Ausnahme der 1, gilt ...."
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Triceratops
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-18
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Die $1$ hat (wie jede natürliche Zahl $\neq 0$1) eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Es ist einfach ein leeres Produkt. Das ist kein "technischer Ausnahmefall", sondern er funktioniert wunderbar mit allen üblichen Formeln zur Primfaktorzerlegungen zusammen. Zum Beispiel gilt $v_p(ab)=v_p(a) + v_p(b)$ (wobei $v_p(a)$ die Vielfachheit der Primzahl $p$ in $a$ sei) natürlich auch für $a=1$, ohne dass sich der Beweis hier ändern würde. Und ganz ähnlich stimmt die Formel für das Produkt von zwei Zahlen in Primfaktorzerlegung (mit o.B.d.A. $n \leq m$) $\bigl(p_1^{k_1} \cdots p_n^{k_n}\bigr) \cdot \bigl(p_1^{l_1} \cdots p_m^{l_m}\bigr) = p_1^{k_1+l_1} \cdots p_n^{k_n + l_n} p_{n+1}^{l_{n+1}} \cdots p_m^{l_m}$ auch für $n=0$. Mehr zu diesem Thema hier:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906
Und dort wird auch kurz wiederholt, warum man die $1$ nicht als Primzahl definieren sollte. Siehe auch
https://ncatlab.org/nlab/show/too+simple+to+be+simple
1Die $0$ hat auch eine Primfaktorzerlegung, wenn man unendliche Exponenten zulässt. Im topologischen Ring $\IZ_p$ der ganzen $p$-adischen Zahlen gilt jedenfalls $\lim_{n \to \infty} p^n = 0$, sodass man $0 = p^{\infty}$ schreiben könnte. Das passt auch zur Feststellung, dass in $\IZ$ ja $ p^n \mid 0$ für alle $n \in \IN$ gilt, und die Rechenregel $v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$ (und auch andere Rechenregeln) gilt auch für $a=0$, wenn man $v_p(0)=\infty$ setzt.
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