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Kein bestimmter Bereich ** Zweiter von drei weihnachtlichen "Kreisgeistern"
cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-18


Dem ersten weihnachtlichen "Kreisgeist"
(Link* Erster von drei weihnachtlichen "Kreisgeistern")
sind inzwischen schon vier Planetarier "auf die Schliche gekommen". 🤗

Nachfolgend möchte ich nun den zweiten vorstellen:

\(n\)  Paar Kreise umkreisen einen zentralen Kreis mit Radius  \(r_z\) .
Alle Peripheriekreispaare sind gleich und bestehen jeweils aus einem
größeren Peripheriekreis mit Radius  \(r_g\)  sowie einem kleineren mit Radius  \(r_k\) .
Diese beiden Radien stehen zueinander in einem festen Verhältnis  \(f_p\, =\,\frac{r_k}{r_g}\) .
Jeder Peripheriekreis berührt sowohl den Zentralkreis als auch seine beiden
jeweiligen "Nachbarn". Von denen hat jeder der größeren zwei kleinere,
und jeder der kleineren zwei größere.
Aus der Anzahl  \(n\)  an Peripheriekreispaaren und ihrem Radiusverhältnis  \(f_p\)
lässt sich der Radius  \(r_z\)  des zentralen Kreises im Verhältnis zum Radius  \(r_g\)
der jeweils größeren Peripheriekreise ableiten!


Auch hier lassen sich zudem wiederum Grenzwerte "einkreisen"...

Man ermittle für  \(n\geq2\)    \(f_z(n;f_p)=\frac{r_z}{r_g}\)
und... vermute wohlbegründet die beiden nachstehenden Grenzwerte:
\(\lambda_3(f_p)\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:(\,\frac{f_z(n;f_p)}{n}\,)\)
\(\lambda_4(f_p)\: =\:\lim\limits_{n\to\infty}\:(\,f_z(n+1;f_p)\, -\,f_z(n;f_p)\,)\)

Lösungsvorschläge bitte per PM/PN!

Bitte an die Probe denken:   Was muss für  \(n=3\)  und  \(f_p=1\) gelten?


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-19


Eine Lösung habe ich - aber sie passt nicht zur Probe :) Es wird also weitergeknobelt.

Grüße und ein schönes Adventswochenende -
Gerhard/Gonz


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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-20


2020-12-18 20:18 - cramilu im Themenstart schreibt:
\[
\lambda_3 ~=~ \lim\limits_{n\to\infty} \Big(\,\frac{f_z(n, f_p)}{n}\,\Big)
\\[3ex]
\lambda_4 ~=~ \lim\limits_{n\to\infty} \Big(~f_z(n+1, f_p)-f_z(n,f_p)~\Big)
\]

... was unklar ist, weil \(\lambda_3,\lambda_4\) von \(f_p\) abhängig sind.  Gemeint hat er wohl entweder
\[
\lambda_3 ~=~ \lim\limits_{n\to\infty} \max_{f_p}\Big\{
   \frac{f_z(n, f_p)}{n} \Big\}
\\[3ex]
\lambda_4 ~=~ \lim\limits_{n\to\infty} \max_{f_p}
   \Big\{~f_z(n+1, f_p)-f_z(n,f_p) ~\Big\}
\] oder
\[
\lambda_3 ~=~ \max_{f_p}\Big\{ \lim\limits_{n\to\infty}
   \frac{f_z(n, f_p)}{n} ~\Big\}
\\[3ex]
\lambda_4 ~=~ \max_{f_p}\Big\{ \lim\limits_{n\to\infty}
   \Big(~ f_z(n+1, f_p)-f_z(n,f_p) ~\Big) ~\Big\}
\]
Oder ergibt vielleicht beides dasselbe? Und falls ja, soll man das auch beweisen oder begründen?


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-21


😉 Ich habe es durchaus so gemeint, wie es da steht.
Bei gleich bleibendem \(f_p\) wird \(n\) immer größer...
Man überlege zunächst:
Falls (!) \(\lambda_3\), also ein entsprechender Grenzwert existiert,
dann gilt für große \(n\):   \(\frac{f_z(n;f_p)}{n}\approx\frac{f_z(n+1;f_p)}{n+1}\)   ...
Letzteres "geschickt" umzuformen mag dem Erkenntnisgewinn dienen... 😎


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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-22


2020-12-21 15:20 - cramilu in Beitrag No. 3 schreibt:
Bei gleich bleibendem \(f_p\) wird \(n\) immer größer...

Also \(\lambda_3(f_p),~\lambda_4(f_p)\) als Funktionen von \(f_p\) finden?

Man konnte \(\lambda_3,~\lambda_4\) leicht als Konstante missverstehen. Es könnten ja schon konstante Funktionen sein, doch ist das a priori nicht klar.



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-22


Goswin, ich habe es entsprechend ausgebessert...
JA: Die Lambdas sind in Abhängigkeit von \(f_p\) gesucht!


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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-27


😂😂 Der dritte Geist wird wohl eher ein Neujahrsgeist sein! 😂😂



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-29


Herzlichen Glückwunsch an  Goswin ,
der wiederum erster erfolgreicher Löser ist! 😉


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Hm... soll ich schon lösen,
oder mögt Ihr noch weiterknobeln?


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