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Funktionentheorie » Holomorphie » Koeffizient Laurentreihe Umkehrung
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Universität/Hochschule J Koeffizient Laurentreihe Umkehrung
MaThMa
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  Themenstart: 2021-01-02

Hallo, ich beschäftige mich gerade mit einem Paper und verstehe nicht, wie man eine Tatsache, die hier nebenbei erwähnt wird, herleiten kann. Es geht um konforme Abbildungen f auf einem Gebiet \(\Omega\) in der erweiterten komplexen Ebene, wobei \(\infty\in\Omega\) und f ist in der Nähe von \(\infty\) folgendermaßen normalisiert: \[f(z) = z + \frac{a_1}{z} + ...\] Nun sind auch die Funktionen g und h genauso normalisiert in der Nähe von \(\infty\): \[ g(z) = z + \frac{b_1}{z} + ... \] und \[ h(z) = z + \frac{c_1}{z} + ... ,\] wobei \( h := f\circ g^{-1} \) gilt. Nun soll angeblich folgendes gelten: \[ c_1 = a_1 - b_1 \] Mit dieser letzten Herleitung hab ich meine Probleme. Meine Idee war von z auf \( \frac{1}{z}\) überzugehen, denn dann gilt ja beispielsweise, dass \(c_1\) die erste Ableitung der Funktion \(h(\frac{1}{z})- \frac{1}{z} \) im Punkt 0 ist und dann mit der Kettenregel weiterzuarbeiten. Mit diesem Ansatz komme ich aber leider nicht weiter und wäre sehr dankbar für weitere Denkanstöße!


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-02

Berechne einmal die ersten Terme von $h(g(z))$. Dann führt ein Koeffizientenvergleich zum Ziel.


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MaThMa
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-02

Okay danke, das versuche ich gleich mal!


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