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 3D Körper Rauminhalt |
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Bekell
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 |  Themenstart: 2021-01-05
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Man stelle sich einen Würfel vor mit der Kantenlänge 1. Diesen schneide man jetzt an einer Diagonale durch und man erhält 2 Prismen mit dem Rauminhalt 1/2
Jetzt nehme man eines der Prismen und schneide ihn nochmal an einer der Würfelflächen diagonal durch. Wie groß ist der Rauminhalt des entstehenden Pyramidenviertels?
Jetzt nehmen man einen neuen Würfel der Kantenlänge 1 und schneide ihn an allen drei Seitendiagonalen. Was entsteht mit welchem Rauminhalt?
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-05
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Hallo Bekell,
die erste Frage hast du dir selbst beantwortet.
Die zweite verstehe ich nicht so ganz, um ehrlich zu sein.
Die dritte beantworte ich dir einmal: heraus kommt eine dreiseitige Pyramide mit einem Volumen von 1/6 des ursprünglichen Würfelvolumens heraus. Und zwar nicht nur bei Würfeln, sondern allgemein auch bei Quadern bzw. noch allgemeiner: bei jedem Spat bzw. Parallelepiped.
Gruß, Diophant
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Bekell
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-05
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\quoteon(2021-01-05 14:23 - Diophant in Beitrag No. 1)
Die zweite verstehe ich nicht so ganz, um ehrlich zu sein.
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]
\quoteoff
So ein Prisma hat 5 Flächen, wovon 2 (die Dachflächen) Quadrate sind. So eine Quadratische Fläche soll noch einmal diagonalisiert werden. Der Rauminhalt ist meineserachtens ein Viertel einer Pyramide mit Grundfläche 4 und Höhe 1.
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-05
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Hallo Bekell,
wie soll das gehen, mit einem ebenen Schnitt? Da kommst du auf der anderen Quadratseite ebenfalls diagonal heraus (ich habe momentan leider nicht die Zeit, eine Zeichnung anzufertigen).
Dabei entsteht eben die dreiseitige Pyramide aus Frage 3) sowie eine unregelmäßige vierseitige Pyramide, die insgesamt 1/3 des Würfelvolumens ausmacht.
Gruß, Diophant
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Bekell
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-05
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\quoteon(2021-01-05 14:57 - Diophant in Beitrag No. 3)
wie soll das gehen, mit einem ebenen Schnitt? Da kommst du auf der anderen Quadratseite ebenfalls diagonal heraus (ich habe momentan leider nicht die Zeit, eine Zeichnung anzufertigen)\quoteoff
wenn von einem sechsseitigen Würfel nur 2 Seiten diagonal geschnitten werden, entsteht eine Viertel Pyramide. Die Grundfläche ist eben 1, dann kommt die Höhe, die mit 1 zugleich eine der 4 Kanten von Pyramidenspitze zur Grundfläche ist. Dazu kommen noch die beiden Flächendiagonalen mit Wurzel 2 und eine Würfelraumdiagonale mit Wurzel 3
\quoteon
sowie eine unregelmäßige vierseitige Pyramide, die insgesamt 1/3 des Würfelvolumens ausmacht.
\quoteoff
Wie kommst Du pi mal Daumen auf 1/3?
(a^2 * h)/3
a=2 h=1 = 4/3 durch 4 = 1/3 aha!
\quoteon Dabei entsteht eben die dreiseitige Pyramide aus Frage 3)
\quoteoff
Das was du sagst, entsteht, wenn alle 3 Seitenflächen diagonal geschnitten werden, dann entsteht eine Pyramide mit der Grundflächen gleichseitiges Dreieck Wurzel 2 länge der Seite, und Nähe ist (glaub ich) halbe Wurzel 3 (= Raumdiagonale des Würfels).
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-05
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Hallo Bekell,
könntest du einmal versuchen, anhand einer Skizze zu erläutern was du meinst?
Für mich gibt es hier nur zwei einigermaßen sinnvolle Möglichkeiten:
- man schneidet diagonal zu einer Grundfläche senkrecht auf dieser und erhält zwei gleiche dreiseitige Prismen. Dabei schneidet man natürlich auch die gegenüberliegende Seite diagonal
- man schneidet durch drei über Eck benachbarte Seiten diagonal so, dass man vom Würfel eine dreiseitige Pyramide abschneidet (die nicht regelmäßig ist in dem Sinn, dass sie kein Tetraeder ist).
Mit einem ebenen Schnitt so durch den Würfel zu schneiden, dass man genau zwei Würfelseiten diagonal durchschneidet die sich nicht gegenüberliegen, das geht nicht.
Gruß, Diophant
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Bekell
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-05
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\quoteon(2021-01-05 18:23 - Diophant in Beitrag No. 5)
Hallo Bekell,
könntest du einmal versuchen, anhand einer Skizze zu erläutern was du meinst?
\quoteoff
(nicht ganz maßstabsgerecht!)
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_Pyram01.png
AC=AB=BD=CD=AE=1
ED=Wurzel 3
AD=EB=EC=Wurzel 2
Verstehst Du jetzt, warum ich Viertelpyramide sage?
Was ich mich frage, kann man 3 dieser Viertelpyramiden zum Würfel 1 zusammenlegen? Da der Rauminhalt 1/3 ist müßte es raummäßig passen, aber on es sich wirklich so legen lässt, bezweifle ich...
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-05
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Hallo Bekell,
ja, aber was du bis jetzt verschwiegen hast: jetzt sprechen wir von zwei Schnitten, vorher ging es doch immer nur um einen Schnitt.
Auch diese Pyramide hat, wie du ja sicherlich selbst gesehen hast, ein Drittel des Volumens des umgebenden Quaders.
Es ist aber hier ehrlicherweise wieder ein klassischer Fall dafür, dass man schon präzise erklären muss, was betrachtet werden soll. Und da ist es in der Geometrie oft besser zu sagen, was getan werden soll, und nicht was am Ende dabei herauskommen soll.
\quoteon(2021-01-05 20:57 - Bekell in Beitrag No. 6)
Verstehst Du jetzt, warum ich Viertelpyramide sage?
\quoteoff
Sie wird in Wirklichkeit viertel gehören und du hast sie dir gemopst? 😁
Gruß, Diophant
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Bekell
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-05
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\quoteon(2021-01-05 21:09 - Diophant in Beitrag No. 7)
Hallo Bekell,
ja, aber was du bis jetzt verschwiegen hast: jetzt sprechen wir von zwei Schnitten, vorher ging es doch immer nur um einen Schnitt.
Auch diese Pyramide hat, wie du ja sicherlich selbst gesehen hast, ein Drittel des Volumens des umgebenden Quaders.
Es ist aber hier ehrlicherweise wieder ein klassischer Fall dafür, dass man schon präzise erklären muss, was betrachtet werden soll. Und da ist es in der Geometrie oft besser zu sagen, was getan werden soll, und nicht was am Ende dabei herauskommen soll.
\quoteoff
Ja, Du hast recht ...
Was ich mich frage, kann man 3 dieser Viertelpyramiden zum Würfel 1 zusammenlegen? Da der Rauminhalt 1/3 ist müßte es raummäßig passen, aber ob es sich wirklich so legen lässt, bezweifle ich...denn ich sehe keine Symmetrie
\quoteon
Sie wird in Wirklichkeit viertel gehören und du hast sie dir gemopst? 😁
\quoteoff
Was mich zu der Überlegung verleitet, ob man Möpse mopsen kann....
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-06
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Hallo Bekell,
\quoteon(2021-01-05 21:14 - Bekell in Beitrag No. 8)
Was ich mich frage, kann man 3 dieser Viertelpyramiden zum Würfel 1 zusammenlegen? Da der Rauminhalt 1/3 ist müßte es raummäßig passen, aber ob es sich wirklich so legen lässt, bezweifle ich...denn ich sehe keine Symmetrie
\quoteoff
Man kann. Du musst sie geschickt so legen, dass sie alle eine Raumdiagonale des Würfels gemeinsam haben.
Ich muss derzeit unseren gemeinsam genutzten Home-Office PC neu aufsetzen und habe momentan noch keinerlei Zeichensoftware zur Verfügung. Wenn ich damit fertig bin, kann ich mal noch eine Zeichnung machen die zeigt, wie das aussschaut. Das wird aber eher so Richtung Wochenende werden. Bis dahin kannst du es ja einmal selbst versuchen. 🙂
Gruß, Diophant
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Diophant
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-11
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Hallo Bekell,
ich habe dein Anliegen hier nicht vergessen, es hat nur alles etwas länger gedauert...
Wenn man einen Würfel so schneidet: von drei über Eck benachbarten Seiten aus diagonal mit einem ebenen Schnitt jeweils bis auf die gleiche Raumdiagonale, dann zerfällt er in genau drei solcher Pyramiden, wie du sie beschrieben hast. Das ist ein ein bisschen schwierig darzustellen, ich habe hier einmal einen Versuch unternommen:
Oben in der Mitte ist der ursprüngliche Würfel. Die drei Schnittflächen habe ich farbig hervorgehoben. An den Seiten und unten befinden sich die drei Pyramiden. Durch die farbige Schraffierung kannst du sehen, wie sie zusammengefügt den Würfel ergeben.
Gruß, Diophant
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Bekell
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-11
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Danke Diophant, es ist gut zu erkennen, wenn man sich mit dem Problem beschäftigt hat.
Womit zeichnest Du das?
Man kann so auch gut erkennen, daß sich der Rauminhalt der Pyramide nicht ändert, wenn man die Spitze von dem einen Eckpunkt der oberen Würfelfläche in die Mitte der oberen Würfelfläche zöge. Es ist Quasi ein Schaubild zur Erklärung der Inhaltsformel ....
und eine optische Täuschung ist auch verbaut. Die Pyramide links oben sieht auf den 1. Blick anders aus als das Pendant in der Mitte, obwohl es sich nur um eine Verschiebung handelt.
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Diophant
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-01-11
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Hallo Bekell,
\quoteon(2021-01-11 11:02 - Bekell in Beitrag No. 11)
Womit zeichnest Du das?
\quoteoff
Das Programm heißt DraftBoard Pocket 4.0 und war einst eine günstige Version für Heimanwender von diesem profesionellen CAD-System. Die Profi-Version hatte ich vor vielen Jahren im Rahmen meines Studiums in der Version 1.0 mal von meiner Firma bekommen. Das war noch zu Zeiten von Windows 3.1. Folgerichtig lief dieses Programm dann unter irgendeiner neuen Windows-Version nicht mehr und auf der Suche nach einem Ersatz hatte ich diese Version dann gefunden, sie hat damals irgendetwas zwichen 20 und 30 Euro gekostet. Das dürfte jetzt aber auch schon so ca. 15-20 Jährchen her sein. Es gibt sie auch meines Wissens nach nicht mehr zu kaufen.
Viertel benutzt diese Version übrigens auch.
Ich bin sehr froh, dass das so lange durchgehalten hat und immer noch klaglos funktioniert...
Gruß, Diophant
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