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Mathematische Physik » Klassische Feldtheorie & Quantenfeldtheorie » Partielle Integration in Funktionalintegralen
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Universität/Hochschule J Partielle Integration in Funktionalintegralen
Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-07


Hi,

in Quantenfeldtheorie betrachtet man häufig Funktionalintegrale der Gestalt

$$ \displaystyle Z = \int \mathscr{D}(\bar{\psi}, \psi) \, \mathrm{exp} \, S [ \bar{\psi}, \psi ]
$$
wobei $\psi$ und $\bar{\psi}$ im bosonischen Fall komplex-wertige Integrationsvariablen und im fermionischen Fall Grassmann-wertige Integrationsvariablen darstellen.

Die Wirkung

$$ \displaystyle S[ \bar{\psi}, \psi ] = \sum_{\alpha} \int \mathrm{d} X \, \bar{\psi}_{\alpha}(X) \, G^{\, \operatorname{inv}}_{\alpha, \alpha^{\prime}} (X, X^{\prime}) \, \psi_{\alpha^{\prime}}(X^{\prime})
$$
beinhaltet häufig Ableitungen der Integrationsvariablen und ich sehe (zumindest im bosonischen Fall) häufig, dass diese Ableitungen in der Wirkung wohl verträglich mit partieller Integration sind. (Es wird halt innerhalb der Wirkung partiell integriert; Also steht das für mich da zwischen den Zeilen, auch wenn es nicht explizit gesagt wird.)

Im bosonischen Fall erscheint mir das auch mehr oder weniger "sinnvoll": In Analogie zu der Heuristik beim Feynman-Pfadintegral (Random Phase Cancellations dort, Exponential Damping hier) wird das Funktionalintegral von denjenigen Konfigurationen dominiert, bei denen die Wirkung extremalisiert wird. Das ergibt dann glatte Feldkonfigurationen $\psi_{\alpha}(\bullet)$, und die Wirkung ist tatsächlich interpretierbar als Integral und verträglich mit partieller Integration.

Wie sieht's im fermionischen Fall aus? Kann man da auch (in manchen Situationen) ohne Probleme partiell integrieren? Was mich halt irritiert, ist dass man bei den Grassmann-Integralen ja keine "großen" oder "kleinen" Beiträge hat.
... Und noch ein paar mehr Dinge, aber das wird zu lang.




Grüße
Skalhoef


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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-07


Ja, du darfst auch mit Fermionen bzw. Grassmann Variablen die analogen Umformungen machen.

Vielleicht eine andere Physiker-Begruendung warum man all das darf: Das Pfadintegral ist ja ein Integral ueber ein Funktional S. Wie genau S aussieht bzw. ausgedrueckt wird, spielt ja fuer dieses Integral keine Rolle.
Vergleich einfach mit einer normalen Integration ueber eine Funktion, die selbst ein kompliziert-verschachtelter Ausdruck ist. Diesen kannst du ja auch problemlos "umformen", ohne dass sich die Funktion an sich aendert.
Genau so ist eine Umformung des Funktionals S mittels partieller Integration so eine "Aequivalenz-Umformung".

Gruss,
moep



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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13


Hallo moep,

vielen Dank für deine Antwort.

2021-01-07 18:02 - moep in Beitrag No. 1 schreibt:
Ja, du darfst auch mit Fermionen bzw. Grassmann Variablen die analogen Umformungen machen.

Darf man denn dann auch wieder zurück in die diskrete Version des Funktionalintegrals zurückgehen?

Ich möchte ein konkretes Beispiel nennen:
Im Buch von Altland wird die Zustandssumme eines quantenmechanischen fermionischen Systems mit Hamiltonian

$$ \hat{H}(c^{\dagger}, c) = \sum_{i, j} h_{ij} c_{i}^{\dagger} c_j + \sum_{i j k l} V_{i j k l} a_i^{\dagger} a_j^{\dagger} a_k a_l
$$
im großkanonischen Ensemble hergeleitet als

\(
\begin{align*}
\displaystyle Z &= \operatorname{tr} \mathrm{e}^{- \beta ( \hat{H} - \mu \hat{N} )} = \sum_{|N\rangle = |n_1, n_2, \ldots \rangle} \langle N | \mathrm{e}^{- \beta ( \hat{H} - \mu \hat{N} )} | N \rangle \\
&= \ldots \\
&= \lim\limits_{M \rightarrow \infty} \int \prod_{m = 1}^{M} \mathrm{d}(\bar{\psi}^{m}, \psi^{m}) \, \mathrm{exp} \left( - \delta \sum_{m = 0}^{M - 1} \frac{\bar{\psi}^{m} - \bar{\psi}^{m + 1}}{\delta} \cdot \psi^{m} + H(\bar{\psi}^{m + 1}, \psi^{m}) - \mu N(\bar{\psi}^{m + 1}, \psi^{m}) \right)_{\bigg \vert \psi^{0} = -\psi^{M}} \\
&\equiv \int \mathscr{D}( \bar{\psi}, \psi) \, \mathrm{exp} \left( - \int_{0}^{\beta} \sum_{i j} \bar{\psi}_i (\tau) [( \partial_{\tau} - \mu) \delta_{i, j} + h_{i j}] \psi_j(\tau) + \sum_{i j k l} V_{i j k l} \bar{\psi}_i(\tau) \bar{\psi}_j (\tau) \psi_k(\tau) \psi_l(\tau) \right)
\end{align*}
\)

wobei $\delta = \frac{\beta}{M}$, $H(\bar{\psi}, \psi^{\, \prime})$ so zu verstehen ist, dass im Hamiltonian Erzeuger und Vernichter durch die entsprechenden Grassmann-Variablen zu ersetzen sind und Ausdrücke $\psi^{m} \equiv \{ \psi_i^{m} \}_{i}$ als ganze "Sets" von Grassmann-Variablen zu verstehen sind (für jedes $m$ hat man jeweils für einen Vernichter (bzw. Erzeuger) $c_i$ (...) eine entsprechende Grassmann-Variable $\psi_{i}^{m}$) und im letzten Schritt (zusammen mit der Einführung der Kontinuumsnotation) dann "partiell integriert" wurde.

In QFT haben wir dann das aller einfachste System woran man denken kann betrachtet: Für

$$ \hat{H}(c^{\dagger}, c) = \sum_{i} \epsilon_i c_i^{\dagger} c_i
$$
lässt sich die Zustandssumme dann schreiben als

$$ Z = \lim\limits_{M \rightarrow \infty} \int \prod_{m = 1}^{M} \mathrm{d}(\bar{\psi}^{m}, \psi^{m}) \, \mathrm{exp} \left( \sum_i \bar{\psi}_i^{:} G_i^{\operatorname{inv}} \psi_i^{\, :} \right)
$$
wobei $G_i^{\operatorname{inv}}$ Einsen auf der diagonalen, dem Wert $ - a = - 1 + \frac{\beta}{M} ( \epsilon_i - \mu)$ auf der Nebendiagonalen und dem Wert $+a$ in der Ecke oben rechts (von den antiperiodischen Randbedingungen).

Wenn man dann die Korrelatoren (also $G_i$) berechnet, die man mit den verschiedenen Wirkungen erhält (einmal ohne die partielle Integration (das haben wir in QFT gemacht) und einmal partieller Integration) dann sehen die ja vollkommen unterschiedlich aus:





Wie ist denn das zu interpretieren?
Ich würde es jetzt so interpretieren: Diese partiellen Integrationen die man in den Wirkungen durchführt sind wirklich *IMMER* rein formal, und dieser Kontinuumsübergang ist einfach "wishful thinking" der manchmal klappt (also die "richtigen" Ergebnisse liefert, dazu kenne ich ein paar Beispiele), und manchmal auch nicht. (Im Altland-Buch findet man auch "Worte der Warnung" und ein konkretes Beispiel, dass man manchmal beim Übergang zu Matsubara-Frequenzen (um die partiellen Ableitungen loszuwerden) in Konvergenz-Probleme gerät und sich an diese nicht strikte Diagonalität der Wirkung erinnern muss.

Und wie wäre deine Interpretation dieses Ergebnisses?


Grüße
Skalhoef


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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-13


Tut mir leid, aber ich steige nicht so ganz durch was du in deinen Mathematica Notebooks machst. Genau so gehen die Umformung darueber bisschen schnell (und ich hab das Buch von Atland nicht zur Hand).

Aber verstehe ich es generell so, dass du gerade versuchst, die Gueltigkeit der partiellen Integration zu "testen", in dem du eine diskrete Version davon bei den Summen anwendest, die im Kontinuum-Limit das Integral darstellen sollen? In dem Fall frage ich mich, was ueberhaupt eine diskrete Version von partieller Integration gibt, und wie sich die Abweichungen vom Kontinuum-Limit verhalten? Wenn ich deine Notebooks richtig deute, dann koennte es doch sein, dass diese Polynome in a und b in dem Limit doch wieder zum gleichen werden?

Im allgemeinen hast du schon recht, dass der Kontinuums-Limit im strikten mathematischen Sinne nicht immer geben muss, eben wegen irgendwelchen Konvergenz-Problemen. Deshalb ist ja auch das Pfadintegral als tatsaechliches Funktional-Integral nur ganz selten wohldefiniert -- es haengt naemlich vom System, spricht der Wirkung / dem Hamiltonian ab. Insofern ist es eigentlich besser, das ganze Pfadintegral als einen formalen Ausdruck zu verstehen, aus dem sich dann physikalische Groessen (Korrelationsfunktionen) berechnen lassen. In diesem Zusammenhang werden dann die Divergenz-Probleme geloest (Stichwort Renormierung).



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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-14


Hallo moep,

vielen Dank für deine Antwort.

2021-01-13 12:52 - moep in Beitrag No. 3 schreibt:
Tut mir leid, aber ich steige nicht so ganz durch was du in deinen Mathematica Notebooks machst. Genau so gehen die Umformung darueber bisschen schnell (und ich hab das Buch von Atland nicht zur Hand).
Jaaa das bekannte Problem, dass man irgendwann mit kaum jemandem mehr reden kann wenn man zu sehr in einem Thema drin steckt, nicht wahr? :D
Ich kenne auch selber nur eine Hand voll Bücher in denen exklusiv diese Condensed Matter Field Theory gemacht wird... Vielleicht ist das ein bisschen zu weit weg von der "Standard-QFT", wenn ich so mal pauschal das ganze Zeug im Peskin, Schwartz und Ryder bezeichne.


2021-01-13 12:52 - moep in Beitrag No. 3 schreibt:
Aber verstehe ich es generell so, dass du gerade versuchst, die Gueltigkeit der partiellen Integration zu "testen", in dem du eine diskrete Version davon bei den Summen anwendest, die im Kontinuum-Limit das Integral darstellen sollen?

Genau so ist es.

2021-01-13 12:52 - moep in Beitrag No. 3 schreibt:
 In dem Fall frage ich mich, was ueberhaupt eine diskrete Version von partieller Integration gibt, und wie sich die Abweichungen vom Kontinuum-Limit verhalten?

Eine diskrete partielle Integration in den Integrationsvariablen die man im Argument einer $\mathrm{e}$-Funktion hat, lässt sich ja als $\vec{v}^{\operatorname{T}} \cdot A \cdot \vec{v}$ schreiben, wenn man in der Matrix $A$ auf der Diagonalen (bzw. einer der Nebendiagonalen) die Einträge $\pm 1$ (bzw. $\mp 1$) hat.

Im Buch von Ryder wird die partielle Integration von einem reellen Feld in einer Wirkung in einem Funktionalintegral genau so eingeführt, wenn ich mich recht erinnere.

Dann findet man ja in der Wikipedia die entsprechenden Identitäten für ein $n$-dimensionales Gauß-Integral und das Wick'sche Theorem erhält man dann durch Ableitungen nach der Einführung von Strömen.

2021-01-13 12:52 - moep in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn ich deine Notebooks richtig deute, dann koennte es doch sein, dass diese Polynome in a und b in dem Limit doch wieder zum gleichen werden?
*Zähneknirsch*... Könnte sein...^^ xD

Der Hintergrund ist, dass ich letzte Woche bei einem anderen Funktionalintegral (aus Gutgläubigkeit) die Korrelatoren für eine Wirkung (mit Matrix) ermittelt habe, die der (Matrix) im ersten Notebook sehr ähnlich ist, und dann die Korrelatoren für eine zweite Matrix, die identisch mit der ersten ist, nur habe ich bei allen Einsen das Vorzeichen gedreht und zusätzlich alles was auf der unteren Nebendiagonalen war auf die obere Nebendiagonale geschrieben. Das Interessante daran war: Die Korrelatoren (also die inversen Matrizen $\left( A_{1, 2}^{\operatorname{inv}}\right)_{i j}$ stimmten für $1 \ll i , j \ll M$ näherungsweise überein.
Hier klappte das dann (wenn ich davon mal ausgehe, dass ich mich auf meinen Notizzetteln nicht verrechnet habe) nicht mehr. Ich hatte dann überlegt, ob es vielleicht ein kleines bisschen anders funktionieren könnte. (Etwa indem man nur die Einsen von der einen Nebendiagonalen rüberschiebt oder so...)

Was ich mich halt gefragt habe war, ob das, was ich da letzte Woche erlebt habe, vielleicht noch allgemeiner gilt (für "viele" Funktionalintegrale?) oder ob das vielleicht einfach nur ein "mathematischer Zufall" ist. Ob das vielleicht eine "Standard-Rechnung" oder ein "Standard-Fakt" ist, den man irgendwo nachlesen kann. (Mit so einer Vermutung hatte ich ja hier schon einmal Glück. :) )


Grüße
Skalhoef


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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-15


2021-01-14 22:34 - Skalhoef in Beitrag No. 4 schreibt:

Eine diskrete partielle Integration in den Integrationsvariablen die man im Argument einer $\mathrm{e}$-Funktion hat, lässt sich ja als $\vec{v}^{\operatorname{T}} \cdot A \cdot \vec{v}$ schreiben, wenn man in der Matrix $A$ auf der Diagonalen (bzw. einer der Nebendiagonalen) die Einträge $\pm 1$ (bzw. $\mp 1$) hat.

Im Buch von Ryder wird die partielle Integration von einem reellen Feld in einer Wirkung in einem Funktionalintegral genau so eingeführt, wenn ich mich recht erinnere.

Dann findet man ja in der Wikipedia die entsprechenden Identitäten für ein $n$-dimensionales Gauß-Integral und das Wick'sche Theorem erhält man dann durch Ableitungen nach der Einführung von Strömen.


Sorry, noch mal fuer langsam denkende wie mich: Meinst du jetzt partielle Integration bzgl $\int d^nx$ innerhalb der Wirkung? Oder partiell funktional-integrieren, d.h. bezueglich $\int \mathscr{D}\psi$?

Typischerweise kenn ich, auch in Zusammenhang mit Gauss-Integralen, die partielle Integration innerhalb der Wirkung, weil du oftmals den kinetischen Term $(\partial \phi)^2$ umwandeln willst in $\phi \partial^2 \phi$. Anschliessend kannst du das Funktional-Integral $\int \mathscr{D}\phi \exp(i \int dx \, [\phi(x) \, \partial^2 \, \phi(x)+ ...])$ als ein unendlich-dimensionales Gauss-Integral interpretieren.

Fuer die erste Umformung, $(\partial_x \phi(x))^2 \rightarrow \phi(x) \, \partial_x^2 \, \phi(x)$ spielt es eigentlich keine Rolle, ob $\phi(x)$ ein bosonisches oder ein fermionisches Feld ist, denn fuer beides gilt die Produkt-Regel, solange ich nach der reell-wertigen Funktionsvariable x ableite. Ausserdem gibt es bei fermionischen Feldern ueberlicherweise kein Bedarf an der obigen partiellen Integration, denn die kinetischen Terme von einem Fermion $\psi$ ist schematisch $\int dx \bar\psi(x) (\partial_x - m) \psi(x)$, was ja bereits die gewuenschte Form fuer ein Gauss-Integral hat (wenn es im Exponent im Pfadintegral steht).

Eine partielle Integration des Pfadintegrals bzgl $\int \mathscr{D} \phi$ habe ich tatsaechlich noch nie "live" gesehen, im Sinne dass ich dessen Notwendigkeit bisher in keinem Beispiel kenne.

Um noch mal hierauf zurueckzukommen:
2021-01-14 22:34 - Skalhoef in Beitrag No. 4 schreibt:
Eine diskrete partielle Integration in den Integrationsvariablen die man im Argument einer $\mathrm{e}$-Funktion hat, lässt sich ja als $\vec{v}^{\operatorname{T}} \cdot A \cdot \vec{v}$ schreiben, wenn man in der Matrix $A$ auf der Diagonalen (bzw. einer der Nebendiagonalen) die Einträge $\pm 1$ (bzw. $\mp 1$) hat.
Wo genau passiert hier die "partielle Integration"? Du beschreibst ja einfach schon das Gauss-Integral, was entweder $1/\sqrt{\det(A)}$ fuer bosonische $v$, oder $\sqrt{\det(A)}$ fuer fermionische $v$ ist, egal was $A$ ist.

Also, auf jeden Fall bin ich sehr verwirrt, wo genau dein eigentliches Problem steckt 🤔

Gruss,
moep



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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Hallo moep,

vielen Dank für die Antwort. :)

2021-01-15 11:22 - moep in Beitrag No. 5 schreibt:

Sorry, noch mal fuer langsam denkende wie mich: Meinst du jetzt partielle Integration bzgl $\int d^nx$ innerhalb der Wirkung? Oder partiell funktional-integrieren, d.h. bezueglich $\int \mathscr{D}\psi$?

Haha... Vermutlich wurden wir einfach von ganz unterschiedlichen Büchern oder Vorlesungen geprägt. :D
Ich meine die partielle Integration bzgl. $\int \mathrm{d}^n x$ in der Wirkung. Aber ganz konkret ist dieses Integral-Notation in der Wirkung ja (so, wie ich die Dinge verstehe, zumindest im fermionischen Fall) rein symbolisch.

Wenn ich z.B. den Ausdruck

$$ \int_{0}^{L} \mathrm{d} x \bar{\psi}(x) (\partial_x + m ) \psi(x)
$$
in der Wirkung eines Funktionalintegrals sehe, dann steht da für mich eigentlich

$$ \sum_{j = 1}^{L / \Delta x =: N} \Delta x \, \bar{\psi}(x_j) (\partial_x + m ) \psi(x_j)
$$
mit Grassmann-Zahlen $\psi(x_j)$ die dann auch in der diskreten Notation von $\mathscr{D}(\bar{\psi}, \psi) = \prod_{j = 1}^{L / \Delta x = N} \mathrm{d} \bar{\psi}(x_j) \mathrm{d} \psi(x_j)$  vorkommen.
Die diskrete Ableitung $\bar{\psi}(x_j) \partial_x \psi(x_j)$ ist dann geg. durch

$$ \bar{\psi}(x_j) \partial_x \psi(x_j) = \bar{\psi}(x_j) \cdot \frac{\psi(x_{j + 1}) - \psi(x_j)}{\Delta x} \text{.}
$$
Ich bin nicht ganz sicher, wie genau das Argument in den üblichen QFT-Büchern ist um die Probleme an den Rändern (also für $j = N = L / \Delta x$: Was ist $\psi(x_{N + 1})$?) lösen lässt; Im Altland-Buch kümmert man sich da explizit drum;

Wenn ich über dieses Problem mal kurz drüber hüpfe um vielleicht die Verbindung zu dir herzustellen: Auf diese Weise (durch diskretisierung der Wirkung im Exponenten, und durch Einführung von ganz vielen Grassmann-Variablen) lässt sich das Funktionalintegral in ein Gauß-Integral im mehrdimensionalen überführen:

Die Terme der diskreten Ableitung $\bar{\psi}(x_j) \cdot (\psi(x_{j + 1} - \psi(x_j))$ korrespondieren in der Notation

$$ \sum_{j = 1}^{L / \Delta x = N} \Delta x \, \bar{\psi}(x_j) (\partial_x + m ) \psi(x_j) = \vec{\bar{\psi}}^{\operatorname{T}} \cdot A \cdot \vec{\psi}
$$
zu den Minus Einsen auf der diagonalen und den Einsen auf der oberen Nebendiagonalen.

Die Terme in $\bar{\psi}(x_j) \cdot m \cdot \psi(x_j)$ korrespondieren zu weiteren Termen auf der Diagonalen mit dem Wert + m. Das Funktionalintegral lässt sich also als mehrdimensionales Gauß-Integral schreiben mit dem Wert $-1 + m$ auf der Diagonalen und $+ 1$ auf der oberen Nebendiagonalen. :)

Genauso korrespondiert ein Ausdruck wie

$$ \int_{0}^{L} \mathrm{d} x - (\partial_x \bar{\psi}(x)) \psi(x) + \bar{\psi}(x) m \psi(x)
$$
zu einem Gauß-Integral mit dem Wert $+ 1 + m$ auf der Diagonalen und $-1$ auf der unteren Nebendiagonalen.

Und was mich dann halt interessiert ist, ob man für diese mehrdimensionalen Gauß-Integrale diese "partielle Integration" in der Wirkung näher begründen kann;

Ich bin nicht sicher ob meine Unklarheit jetzt klarer geworden ist?


Grüße
Skalhoef


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2021-01-21 15:09 - Skalhoef in Beitrag No. 6 schreibt:

Ich meine die partielle Integration bzgl. $\int \mathrm{d}^n x$ in der Wirkung. Aber ganz konkret ist dieses Integral-Notation in der Wirkung ja (so, wie ich die Dinge verstehe, zumindest im fermionischen Fall) rein symbolisch.


Okay, gut, dann haben wir zunaechst mal nicht aneinander vorbei geredet!

Aber ich kann dir in dem zweiten Satz nicht zustimmen. Denn die Grassmann-Zahlen sind ja im wesentlichen nichts anderes als eine $\mathbb{C}$-Algebra, d.h., ein $\mathbb{C}$-Vektorraum mit einer Multiplikationsstruktur.
Diese Multiplikationsstruktur spielt ja aber gar keine Rolle fuer die Integration. Du kannst ja schliesslich auch vektorwertige Funktionen integrieren, indem du einfach jede Komponente einzeln als eine $\mathbb{C}$-wertige Funktion betrachtest und integrierst.
Ausserdem ist die Lagrange-Dichte immer eine $\mathbb{R}$-wertige Funktion: Die Kontraktionen mit Gamma-Matrizen, Konjugation ($\bar\psi$) etc. sind ja immer so aneinander gebaut, dass $\int d^n x$ auf eine "ganz normale" Funktion wirkt. Von daher verstehe ich jetzt erst recht nicht, wo dein urspruengliches Problem herkommt.

Gruss,
moep



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


2021-01-21 16:12 - moep in Beitrag No. 7 schreibt:
Aber ich kann dir in dem zweiten Satz nicht zustimmen. Denn die Grassmann-Zahlen sind ja im wesentlichen nichts anderes als eine $\mathbb{C}$-Algebra, d.h., ein $\mathbb{C}$-Vektorraum mit einer Multiplikationsstruktur.
Diese Multiplikationsstruktur spielt ja aber gar keine Rolle fuer die Integration.

Aber was ist denn dann mit diesen Worten der Warnung im Altland Buch?



Da steht doch eigentlich genau das, was ich gesagt habe, oder etwa nicht? Also das so etwas wie "Integration" und "Differentiation" für Grassmann-Zahlen in Wirkungen rein formale Sachen sind, was über die diskreten Summen und Differenzen definiert ist, und nicht irgendwie (wie bei "normalen" Zahlen) weiter vereinfacht werden kann. Und dadurch fallen auch solche Operationen wie partielle Integration weg, oder etwa nicht?


Grüße
Skalhoef


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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-22


2021-01-22 02:14 - Skalhoef in Beitrag No. 8 schreibt:

Da steht doch eigentlich genau das, was ich gesagt habe, oder etwa nicht?


Ja, aber ohne eine fuer mich ersichtlich Begruendung. Wie gesagt, ich kenne das Buch nicht, und deshalb auch nicht, wie vorher die Fermionen $\psi(x)$ definiert werden. Aber auf jeden Fall ist die durch die Vektorraum-Struktur von Grassmann-Zahlen gegebene $\mathbb{C}$-Lineritaet ausreichend, um eine Ableitung von Grassmann-wertige Funktionen zu definieren. So weit ich es kenne, ist diese Definition auch kompatibel mit allem, was man so in Physik macht, inklusive partieller Integration (was einfach aus der Produkt-Regel fuer Ableitungen folgt).

Zu dem finde ich auch die markierte Stelle im Buch in sich unlogisch. Zunaechst schreibt er, "there is no sense in which $\psi^{n+1} - \psi^n$ is small." Abgesehen davon, dass das (ohne weiteren Kontext) unpraezise ist,  suggeriert es fuer mich zumindest, dass es kein Abstandsmass gibt. Damit liesse sich aber auch keine Konvergenz-Kriterien aufstellen. Aber das ist im krassen Widerspruch zu seinem naechsten Satz, wo es ja heisst, dass der Limes "well-defined" ist.

Gruss,
moep



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Hallo moep,

danke fuer die Antwort.

2021-01-22 11:10 - moep in Beitrag No. 9 schreibt:
Zu dem finde ich auch die markierte Stelle im Buch in sich unlogisch. Zunaechst schreibt er, "there is no sense in which $\psi^{n+1} - \psi^n$ is small." Abgesehen davon, dass das (ohne weiteren Kontext) unpraezise ist,  suggeriert es fuer mich zumindest, dass es kein Abstandsmass gibt. Damit liesse sich aber auch keine Konvergenz-Kriterien aufstellen. Aber das ist im krassen Widerspruch zu seinem naechsten Satz, wo es ja heisst, dass der Limes "well-defined" ist.

Ich denke auch, dass das ein bisschen Ungluecklich formuliert ist. Dieser Limes in dem $\delta$ nach Null geschickt wird, sollte wohl eher vor dem Funktionalintegral stehen. (Der Kontext ist, dass man durch eine Trotter-Zerlegung die Zustandssumme in ein Funktionalintegral umschreibt. Der Wert von $\delta = \beta / N$ (und $\beta = 1 / k_{\text{B}} T$) korrespondiert zur Anzahl der Stuetzstellen $N$ der Zerlegung.)

2021-01-22 11:10 - moep in Beitrag No. 9 schreibt:
Ja, aber ohne eine fuer mich ersichtlich Begruendung. Wie gesagt, ich kenne das Buch nicht, und deshalb auch nicht, wie vorher die Fermionen $\psi(x)$ definiert werden. Aber auf jeden Fall ist die durch die Vektorraum-Struktur von Grassmann-Zahlen gegebene $\mathbb{C}$-Lineritaet ausreichend, um eine Ableitung von Grassmann-wertige Funktionen zu definieren. So weit ich es kenne, ist diese Definition auch kompatibel mit allem, was man so in Physik macht, inklusive partieller Integration (was einfach aus der Produkt-Regel fuer Ableitungen folgt).

Aber in der diskreten Notation geht diese Produktregel doch schief, oder etwa nicht?

Etwa

$$ \partial_{\tau} ( \bar{\psi}_n \psi_n ) = \frac{\bar{\psi}_{n + 1} \psi_{n + 1} - \bar{\psi}_n \psi_n }{\delta} \stackrel{?!}{=} (\partial_{\tau} \bar{\psi}_n) \psi_n + \bar{\psi}_n ( \partial_{\tau} \psi_n) = \frac{\bar{\psi}_{n + 1} - \bar{\psi}_n}{\delta} \psi_n + \bar{\psi}_n \frac{\psi_{n + 1} - \psi_n}{ \delta}
$$
Irgendwie kommen wir auf keinen gruenen Zweig... :D Vermutlich habe ich irgendwie ein Brett vor dem Kopf, aber diese partielle Integration bei Grassmann-Zahlen ist fuer mich einfach ein bisschen "mystisch"...


Gruesse
Skalhoef


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Zunaechst einmal sollten wir uns die relevanten Eigenschaften von Grassmann-Zahlen vor Augen fuehren, naemlich im wesentlichen die Struktur eine $\mathbb{C}$-Algebra. Ich hoffe, du stimmst mir bei den folgenden Eigenschaften zu.
Sei $a,b \in \mathbb{C}$ und $\psi, \varphi, \eta$ Grassmann-Zahlen. Ich schreibe $\cdot$ fuer das Grassmann-Produkt, und nichts fuer $\mathbb{C}$-Multiplikationen.
Dann gilt: $\psi + \varphi = \varphi + \psi$, $(a+b)\psi = a\psi + b\psi$, und $\psi \cdot (\varphi + \eta) = \psi \cdot \varphi + \psi \cdot \eta$.
Du wirst gleich sehen, dass die Anti-Kommutativitaet $\psi \cdot \varphi = -\varphi \cdot \psi$ gar keine Rolle spielt.

Nimm jetzt die diskrete Version der Ableitung (ich schreibe jetzt nur von Wikipedia ab):
$
\begin{align*}
&\frac{\psi^{n+1} \cdot \varphi^{n+1} - \psi^n \cdot \varphi^n}{\delta} = \frac{\psi^{n+1} \cdot \varphi^{n+1} + (\psi^{n} \cdot \varphi^{n+1} - \psi^{n} \cdot \varphi^{n+1}) - \psi^n \cdot \varphi^n}{\delta} \\
= & \frac{ (\psi^{n+1} - \psi^n) \cdot \varphi^{n+1} + \psi^n \cdot (  \varphi^{n+1} - \varphi^n )}{\delta} = \frac{ \psi^{n+1} - \psi^n}{\delta} \cdot \varphi^{n+1} + \psi^n \cdot \frac{\varphi^{n+1} - \varphi^n}{\delta}
\end{align*}
$

Wie du siehst, steckt hier der Teufel im Detail -- aber voellig gleich, ob Grassmann (Fermion) oder nicht: Im ersten Summand ist die nicht-abgeleitete Funktion am Punkt $n+1$, aber im zweiten Summand am Punkt $n$. Nur im Limit $\delta \rightarrow 0$ sind sie gleich.

Ich hoffe das war klar, und ich habe auch das Gefuehl, dass all deine Verwirrung, die aus deinen Rechnungen in den Mathematica Notebooks kommen, an diesem kleinen Detail liegen?

Gruss,
moep



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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-23


2021-01-22 16:10 - moep in Beitrag No. 11 schreibt:

Ich hoffe das war klar, und ich habe auch das Gefuehl, dass all deine Verwirrung, die aus deinen Rechnungen in den Mathematica Notebooks kommen, an diesem kleinen Detail liegen?

Ahhhh... :D Ja jetzt ist der Groschen gefallen! Ich hatte halt, naiv wie ich bin, versucht die kontinuierliche Version der Kettenregel einfach auf den diskreten Fall zu übertragen. (Was, wie du dargelegt hast, nicht legal ist. - Sorry, eigentlich hätte ich diese Leistung (also die Herleitung der Kettenregel nochmal anzuschauen) auch selber bringen können... xD)
Deshalb wurden in meiner Logik aus minus Einsen auf der diagonalen

$$ \bar{\psi} \partial_{\tau} \psi  \equiv \bar{\psi}_n \frac{\psi_{n + 1} - \psi_n}{\delta} \mapsto - (\partial_{\tau} \bar{\psi} ) \psi \equiv - \frac{\bar{\psi}_{n + 1} - \bar{\psi}_n}{\delta} \psi_n $$
plus Einsen auf der Diagonalen, aber in deiner Version (der richtigen Version)

$$ \psi^n \cdot \frac{\varphi^{n+1} - \varphi^n}{\delta} \mapsto - \frac{ \psi^{n+1} - \psi^n}{\delta} \cdot \varphi^{n+1}
$$
verändern sich die Diagonalelemente gar nicht. (Und, dass $\partial_{\tau} (\bar{\psi} \psi)$ unter dem Integral (bis auf Ränder zumindest) verschwindet, folgt weil man dort in der diskreten Version des Integrals eine Teleskopsumme erhält.

Ich danke dir. Das hat sehr geholfen. Ich mache hier zu.


Grüße
Skalhoef


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