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| Autor |
  Darstellungsmatrix angeben |
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Mathler
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 24.10.2020
Mitteilungen: 71
Wohnort: Österreich
 |  Themenstart: 2021-01-07
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Hallo Matheplanet,
ich bin mir bei folgender Aufgabe leider etwas unsicher
Sei K ein Körper mit Char!=2, V Vektorraum über K, f\el\ L(V,V) sprich eine Lineare Funktion von V nach V.
Es sind Äquivalent (bereits gezeigt):
1) f\circle f =id_V
2) g:=1/2 *(f+id_V) ist Projektion
3) \exists\ U^(+) , U^(-) Unterräume von V mit V = U^(+) \oplus\ U^(-) und f(x)=x \forall\ x\el\ U^(+) , f(x)=-x \forall\ x\el\ U^(-)
Nun soll ich für 1<=n=dim V < \inf möglichst einfache Koordinatenmatrizen für f und g angeben.
(Was bei uns der Koordinatenmatrix entspricht ist im Allgemeinen scheinbar die Darstellungsmatrix)
Als Lösungsansatz hätte ich nun folgendes:
Bezeichen e_i als i-ten Einheitsvektor, E_n als n-dim Einheitsmatrix
Sei B:=( e_1, e_2,...,e_n ) eine Basis von V
Beh.: =E_n ist Darstellungsmatrix von f.
Es gilt E_n * E_n = E_n was der Vorschrift von f entspricht ( f \circle f =id_V)
=> g=1/2*(f+id_V) hat die Darstellungsmatrix 1/2*(E_n + E_n )=E_n
=> da nun auch E_n * E_n =E_n gilt, sprich die Bedingung g \circle g = g, also g ist eine Projektion erfüllt ist, sind dies tatsächlich Darstellungsmatrizen von f bzw. g
Nun wäre meine frage ob mein Ansatz korrekt ist.
Danke.
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-11
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Hallo Mathler,
es ist nicht sinnvoll vom \(i\)-ten Einheitsvektor zu sprechen, wenn Du einen allgemeinen Vektorraum \(V\) betrachtest und nicht den \(K^n\). Aber selbst im \(K^n\) ist die Standardbasis nicht geeignet, um für \(f\) und \(g\) möglichst einfache Darstellungsmatrizen zu bekommen.
Die Behauptung, dass die Darstellungsmatrizen von \(f\) und \(g\) bzgl. der Basis \(B\) gleich \(E_n\) sind stimmt nicht, dies würde einfach bedeuten, dass \(f=g=\operatorname{id}_V\) ist.
Stattdessen solltest Du Dich auf Eigenschaft \(3)\) konzentrieren. Du weißt ja, dass \(f|_{U^+}\colon U^+\to U^+\) mit \(\operatorname{id}_{U^+}\) und \(f|_{U^-}\colon U^-\to U^-\) mit \(-\operatorname{id}_{U^-}\) übereinstimmt. Es ist daher naheliegend, Basen \((b_1,\ldots,b_k)\) von \(U^+\) und \((b_{k+1},\ldots,b_n)\) von \(U^-\) zu wählen. \(k\) ist hierbei die Dimension von \(U^+\) und wegen \(V=U^+\oplus U^-\) ist die Dimension von \(U^-\) gleich \(n-k\) und Du kannst Dir leicht überlegen, dass \((b_1,\ldots,b_n)\) eine Basis von \(V\) ist.
Jetzt musst Du schauen, was \(f(b_i)\) und \(g(b_i)\) für \(1\leq i\leq n\) ist (unterscheide zwischen \(i\leq k\) und \(i\geq k+1\)) und das Ergebnis als Linearkombination von \(b_1,\ldots,b_n\) ausdrücken. Die Koeffizienten sind dann die Einträge der Darstellungsmatrix.
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Mathler
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Hallo Sonnenschein96,
für f bin ich nun "fast" auf die Einheitsmatrix gekommen, die ersten k Elemente auf der Diagonale sind 1er und die letzten sind -1er
Woraus folgt das die Matrix für g auf der Diagonale in den ersten k Einträgen auf der Diagonale 1er hat und die letzten sind 0er.
Danke für deine Hilfe. :)
LG
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Mathler hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mathler hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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2023-09-30 16:09 U <
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