Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Anzahl der Elemente eines Körpers bestimmen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Anzahl der Elemente eines Körpers bestimmen
Bruce94
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.05.2015
Mitteilungen: 836
Herkunft: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-13


Hallo,
ich lerne gerade für eine Prüfung und versuche mich an dieser Aufgabe:

Sei \(f = X^3+ \overline{2}X+\overline{1} \in \mathbb{F}_3[X]\), \(I=(f)\) das von \(f\) erzeugte Hauptideal in \(\mathbb{F}_3[X]\) und \(K=\mathbb{F}_3[X]/I\).
a) Zeigen Sie, dass \(f\) irreduzibel ist.
b) Schließen Sie (ohne weitere Rechnungen), dass \(K\) ein Körper ist. Wieviele Elemente hat \(K\)?
c) Begründen Sie (ohne weitere Rechnungen), warum \(X^2+I\) invertierbar in \(K\) ist. Bestimmen Sie das Inverse von \(X^2+I\).


Zu a):
Da \(f\) in \(\mathbb{F}_3[X]\) keine Nullstelle besitzt, ist es irreduzibel.


Zu b):
Da \(\mathbb{F}_3\) ein Körper ist, ist \(\mathbb{F}_3[X]\) ein Hauptidealring. Da \(f\) außerdem irreduzibel ist, ist \(K\) ein Körper.
Bei der Anzahl der Elemente hänge ich. Es gilt: \(K=\{a+(f) \ \vert \ a \in \mathbb{F}_3[X]\}=\{a+f \cdot \mathbb{F}_3[X] \ \vert \ a \in \mathbb{F}_3[X]\}\)


Zu c):
Zur Invertierbarkeit hatten wir bisher noch nichts gemacht. Wir haben noch nicht den ganzen Stoff in der Vorlesung durch. Bisher haben wir die Grundlagen, Gruppen und Ringe betrachtet. Das letzte Kapitel „Körper“ kam noch nicht dran. Wohlmöglich fehlt mir auch gewisser Stoff.
Jedoch müsste ja auch insbesondere \(X^2\) invertierbar sein, d. h., es müsste ein \(g \in \mathbb{F}_3[X]/I \) geben, sodass \(\overline{1}=X^2 \cdot g \mod I\). Leider existiert ein solches \(g\) aber nicht. offenbar habe ich ein Verständnisproblem.


Ich bedanke mich schonmal für eure Antworten.

Liebe Grüße
Bruce



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ollie3
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.02.2016
Mitteilungen: 62
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-13


Hallo,
zu b) da man bei dem Quotientenring F3[X]/I sozusagen alle vielfachen
von I herausdividiert, bleiben dann alle Polynome aus F3[X] bis einschließlich 2.grades übrig, das wären dann 3^3=27.
zu c) In einem Körper muss jedes Element außer 0 invertierbar sein.
Und um das Inverse zu bestimmen, stell mal die entsprechende Gleichung
auf...
gruss ollie3



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Bruce94
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.05.2015
Mitteilungen: 836
Herkunft: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-13


Hi,
danke für deine Antwort.

b) Macht Sinn.

c) Achja, richtig.

Sei \( \overline{1}=(X^2+I) \cdot g\) mit \(g \in \mathbb{F}_3[X]/I\).

Durch die b) weiß ich ja nun, dass \(g = aX^2+bX+c\) mit \(a,b,c \in \mathbb{F}_3\) gelten muss.
In \(\mathbb{F}_3[X]/I\) gilt \(X^2+I=X^2\), sodass ich durch ausmultiplizieren \(\overline{1}=aX^4+ \overline{2}bX^3+cX^2= \overline{2} \cdot b \cdot X^3+(c-\overline{2}a)X^2-a=\) erhalte.
Es muss also \(a=\overline{-1}=\overline{2}, \ b=\overline{0}, c=\overline{1}\) gelten, sodass mein \(g=\overline{2}X^2+\overline{1}\) ist, richtig?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Bruce94
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 24.05.2015
Mitteilungen: 836
Herkunft: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Ich sitze gerade wieder an der Aufgabe und denke, dass meine vorherige Antwort falsch war. Wenn ich mein berechnetes $g$ einsetze, erhalte ich nicht $\overline{1}$.

Jedoch sehe ich nicht, wo mein Fehler liegt. Hat jemand eine Idee?

Vielleicht verstehe ich ja auch etwas falsch:
$\mathbb{F}_3[X]/I=\{g+I \ \vert \ g \in \mathbb{F}_3[X]\}=\{g+h \cdot f \ \vert \ g,h \in \mathbb{F}_3[X] \}$
Somit liegen $X^2$ und $X^2+I$ in der gleichen Äquivalenzklasse. Daher müsste es ja reichen, wenn ich mit $X^2$ arbeite.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Bruce94 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]