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 Konvergenz in Wahrscheinlichkeit |
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rusMat
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Hallo zusammen, ich soll zeigen, dass aX_n+bY_n in Wahrscheinlichkeit gegen aX+bY konvergiert. Dabei ist X_n -> X und Y_n -> Y konv. in Wahrscheinlichkeit. Zuerst hatte ich die Definition der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit angewandt und dann mehrmals die Monotonie des Maßes und Subadditivität: P(abs(aX_n+bY_n-aX-bY)>\epsilon)<=P(abs(aX_n-aX)+abs(bY_n-bY)>\epsilon)<=P(abs(a)*abs(X_n-X)+abs(b)*abs(Y_n-Y)>\epsilon) <=P(menge(abs(a)*abs(X_n-X)>\epsilon/2)\union\ menge(abs(b)*abs(Y_n-Y)>\epsilon/2) <=P(abs(a)*abs(X_n-X)>\epsilon/2)+P(abs(b)*abs(Y_n-Y)>\epsilon/2) Weiter weiß ich nicht, ich hoffe, dass ich in die richtige Richtung gehe.
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rusMat
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|      Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15
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Und ich denke, ich bin fast fertig, aber mich stören die Konstanten a und b, die sind beliebig.
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Kampfpudel
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-15
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Hallo rusMat.
Im Prinzip bist du dann ja schon fertig, du musst nur noch in den jeweiligen Ungleichungen durch \(|a|\) bzw. \(|b|\) teilen und die Voraussetzungen verwenden. Der Vollständigkeit halber musst du noch die Fälle \(a=0\) oder \(b=0\) untersuchen.
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rusMat
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15
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okay vielen dank für den Hinweis.
Ich denke, wenn ich voraussetze dass a,b ungleich null sind, muss ich die Fälle betrachten, a,b negativ oder positiv? Wenn nicht, dann ist man doch fertig oder?
Und falls a=0, b=0 oder a=0 und b=0, wie könnte ich argumentieren, dass die Ungleichung gilt?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-15
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Ob \(a,b\) neagtiv oder positiv sind, ist doch egal, du arbeitest doch jeweils mit dem Betrag.
Wie gut lässt sich denn etwa für \(a=0\) die Ungleichung \(|a| |X_n - X| > \frac{\epsilon}{2}\) erfüllen?
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rusMat
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-15
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Kampfpudel
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-16
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Warum verschwindet das \(|a|\) einfach bei dir?
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rusMat
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Ich bin irgendwie auf dem Holzweg. Falls a,b ungleich Null sind ist klar, da man einfach teilen kann. Mit a = 0 fällt mir momentan nichts ein:/ Die Vermutung von Vorhin kann nicht stimmen, sehe ich auch so.
Mfg rusMat
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Kampfpudel
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-16
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Wenn \(a=0\), ist die ganze linke Seite der Ungleichung \(0\). Für welche \(\omega \in \Omega\) ist die Ungleichung nun erfüllt?
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rusMat
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Hmmm... wenn man annimmt, dass a = 0 ist und damit die ganze Seite Null ist, dann wäre die Gleichung doch für alle klein Omega erfüllt, oder?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-17
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Die Ungleichung \(0 > \frac{\epsilon}{2}\) ist also für alle \(\omega \in \Omega\) erfüllt?
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rusMat
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Oje, das kann nicht sein, da Epsilon>0 vorausgesetzt wird. Damit ist die Ungleichung für kein klein Omega erfüllt. Aber was heißt das jetzt?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-01-17
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Wie groß ist denn \(P(\emptyset)\)?
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rusMat
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|  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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rusMat
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17
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Und für Fälle wo a=0 oder b =0 ist, folgt analog, dass ganze gegen 0 geht?
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Kampfpudel
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-01-18
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In diesen Fällen sind die Ausdrücke, die gegen 0 gehen sollen, ja konstant 0.
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rusMat
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Ach so ich verstehe jetzt :)
Vielen Dank
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