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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Matrixdarstellung eines nicht-injektiven Endomorphismus
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Universität/Hochschule Matrixdarstellung eines nicht-injektiven Endomorphismus
szv07
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  Themenstart: 2021-01-15

Könnte mir jenamd vielleicht einen Tipp geben, wie man auf die richtige Antwort kommt? Hier ist die Aufgabe: Seien K ein Körper und f ein Endomorphismus des endlichdimensionalen K-Vektorraums V. Die Abbildung f sei nicht injektiv. Beweisen Sie, dass es eine Basis B von V gibt, so dass die letzte Zeile der Matrix $\(M^{B}_{B}$(f) nur aus Nullen besteht. Vielen Dank im Voraus!

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-15

Sei $n = \dim(V)$. Weil $f$ nicht injektiv ist, ist $f$ auch nicht surjektiv (klar?), also $k := \dim(\mathrm{im}(f)) < n$. Wähle jetzt eine Basis von $\mathrm{im}(f)$ und ergänze sie zu einer Basis von $V$.

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