| Autor |
  Bild und Kern |
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sina1357
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 |  Themenstart: 2021-01-16
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Hallo zusammen,
ich bearbeite folgende Aufgabe:
Sei ϕ : R^n×n → R^n×n, A → 1/2(A+A^T).
Bestimmen Sie Kern und Bild von ϕ.
Mein Ansatz:
Ich habe bereits gezeigt, dass im Schnitt von Kern und Bild die Nullmatrix liegen muss. Jedoch weiß ich nun nicht mehr weiter..
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
beginne doch einmal mit der Überlegung, in welchen Fällen die Summe \(A+A^T\) die Nullmatrix ergibt. Vielleicht erinnerst du dich dann auch daran, dass Matrizen mit dieser Eigenschaft einen Namen haben...
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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sina1357
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe.
Also wenn A+A^T=0 gilt,
muss die Diagonale der Matrix aus Nulleinträgen bestehen und ober- und unterhalb der Matrix müssen sich die Einträge um den Faktor (-1) unterscheiden (z.B. a21=-a12)
Ein Name dafür ist mir nicht bekannt..
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
überlege einmal so:
Was muss sicherlich für die Einträge auf der Hauptdiagonalen gelten?
Jetzt nimm eine beliebige (quadratische) Matrix, die das erfüllt und überlege dir, wie sich die Einträge ober- und unterhalb der Hauptdiagonalen zueinander verhalten müssen.
Oder recherchiere einfach, wie man Matrizen mit der Eigenschaft \(A^T=-A\) nennt...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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sina1357
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Also habe ich bei meinen obigen Versuchen einen Denkfehler?
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zippy
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-16
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\quoteon(2021-01-16 14:13 - sina1357 in Beitrag No. 4)
Also habe ich bei meinen obigen Versuchen einen Denkfehler?
\quoteoff
Nein, deine Bedingungen $a_{ii}=0$ für alle $i$, $a_{ij}=-a_{ji}$ für alle $i$ und $j$ mit $i\ne j$ (die du übrigens auch zu $a_{ij}=-a_{ji}$ für alle $i$ und $j$ zusammenfassen könntest) charakterisieren tatsächlich den Kern.
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Diophant
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-16
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\quoteon(2021-01-16 14:13 - sina1357 in Beitrag No. 4)
Also habe ich bei meinen obigen Versuchen einen Denkfehler?
\quoteoff
Nein. Das Problem war, dass diese Überlegungen noch nicht nicht dastanden, als ich meine Antwort verfasst habe...
Gruß, Diophant
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sina1357
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Ok, vielen Dank!
Für das Bild habe ich noch keine Idee..
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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sina1357
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Hallo Diophant,
das habe ich nicht gesehen, danke!
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-16
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Hallo,
für das Bild: offensichtlich besteht das Bild aus symmetrischen nxn-Matrizen (warum?). Die einzige Frage ist also, ob jeweils alle solche Matrizen im Bild liegen.
Jetzt überlege einmal, was die Abbildung mit einer symmetrischen Matrix macht. Dann hast du auf die obige Frage sofort die Antwort.
Gruß, Diophant
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sina1357
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Per Aufgabenstellung sind sowieso nur quadratische nxn Matrizen zugelassen.
Also auf der Diagonalen werden die Einträge a1,1 bis an,n beibehalten,
sonst 1/2(ai,j + aj,i).
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Diophant
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2021-01-16 15:21 - sina1357 in Beitrag No. 10)
Per Aufgabenstellung sind sowieso nur quadratische nxn Matrizen zugelassen.
Also auf der Diagonalen werden die Einträge a1,1 bis an,n beibehalten,
sonst 1/2(ai,j + aj,i).
\quoteoff
das ist ein bisschen schwierig zu lesen so. Also du meinst damit, dass der Eintrag \(a_{ij}\) abgebildet wird auf \(\frac{1}{2}\left(a_{ij}+a_{ji}\right)\). Gut. dem ist so.
Jetzt betrachte das Bild des Eintrags \(a_{ji}\) der Urbildmatrix und ziehe daraus deine Schlussfolgerungen...
Ist dir denn meine Antwort aus #9 so gar nicht klar geworden?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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sina1357
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Jetzt habe ich es, denke ich, verstanden! Danke für deine Geduld!
Also das Bild umfasst alle Matrizen, die im oberen sowie im unteren Dreieck dieselben Einträge haben (ich hoffe, das ist verständlich)
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Diophant
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
wenn du damit symmetrische Matrizen meinst, dann stimmt das. Du musst dir aber mit meinem Tipp aus #9 noch klar machen, warum wirklich alle symmetrischen Matrizen der Dimension nxn auch tatsächlich im Bild von \(\phi\) liegen.
Also: nimm eine beliebige symmetrische Matrix und lasse die Abbildung \(\phi\) darauf los. Was passiert?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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sina1357
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Ja genau, ich meinte symmetrische Matrizen.
Zu #9: Es liegen alle symmetrischen Matrizen im Bild, da die Abbildung eine symmetrische Abbildung A wieder auf sich selbst schickt..
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Diophant
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-01-16
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\quoteon(2021-01-16 15:58 - sina1357 in Beitrag No. 14)
Ja genau, ich meinte symmetrische Matrizen.
Zu #9: Es liegen alle symmetrischen Matrizen im Bild, da die Abbildung eine symmetrische Abbildung A wieder auf sich selbst schickt..
\quoteoff
Genau das meinte ich. 👍
Gruß, Diophant
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sina1357
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Vielen Dank für deine Hilfe!
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Diophant
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| Beitrag No.17, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2021-01-16 16:00 - sina1357 in Beitrag No. 16)
Vielen Dank für deine Hilfe!
\quoteoff
Gerne.
Aber noch ein letzter Beitrag, bevor das untergeht:
Matrizen mit der Eigenschaft \(A^T=-A\) nennt man schiefsymmetrisch. Also besteht der Kern dieser Abbildung genau aus allen schiefsymmetrischen nxn-Matrizen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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