| Autor |
  Nilpotenzindex |
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Student10023
Aktiv 
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 |  Themenstart: 2021-01-16
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Hey,
folgende Aufgabe:
Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und f ein Endomorphismus auf V:
a) Zeigen Sie, dass eine Natürliche Zahl m existiert, sodass Die Inklusion Ker(f)\subset\ .....\subset\ Ker(f^m) = Ker(f^k) für alle k>=m
wahr ist
wir nennen m dann den Nilpotenzindex von f.
b) Für das m gilt dann auch
V=Im(f^0)\superset\ Im(f^1)\superset\ ..\superset\ Im(f^m) = Im(f^k) für alle k >=m
und dass V die Direkte Summe von Kerf^m und Im f^m ist
Bis hierhin habe ich alles geschafft. Nun zur eigentlichen Frage:
c) Zeigen Sie, dass a) und b) im allgemeinen für unendlich dimensionale Vektorräume nicht mehr gilt.
Hier muss ich ein Beispiel finden denke ich. Den einzigen unendlich dimensionalen Vektorraum den ich kenne ist K[x], das heißt ich brauche einen Endomorphismu, der möglichst schon alle Eigenschaften von a) und b) wiederlegt, allerdings tue ich mich damit sehr schwer...
hätte jemand einen Tipp ?
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
ein Tipp:
Finde eine möglichst einfache Abbildung in \( \IR^2\), \( \IR^3\) und \( \IR^4\) und überlege dir, wie du das übertragen kannst.
Viele Grüße
Wally
\(\endgroup\)
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Student10023
Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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Hey Wally,
Danke für Deine Antwort. Ich versteh aber nicht ganz, inwieweit mir das weiterhilft, da R^2, R^3, R^4 alles endliche Vektorräume sind und ich versuche ja gerade ein besipiel für ein unendlichen Vektorraum mit einer bestimmten Eigenschaft zu finden. Ich habe ja in a) und b) bereits gezeigt, dass diese Eigenschaft bei endlichen nicht vorkommen kann.
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Wally
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
finde im \( \IR^n\) so eine Kette mit \( n\) Gliedern und überlege dann, wie das in einem unendlichdimensionalen Raum aussehen muss.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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Student10023
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Hey vielen Dank für deinen Tipp. Ich habe mir jetzt ein paar Tage lang Gedankendrüber gemacht, aber ich bin nicht wirklich weiter gekommen. Ich habe auch große Schwierigkeiten eine Abbildung von R^3 nach R^3 zu finden mit Kerf ungleich Kerf(f^2) ungleich Ker(f^3).
Ich wäre dankbar für einen weiteren Tipp ;)
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ochen
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-18
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Nimm eine nilpotente Abbildung $f\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3$.
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Triceratops
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 |  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-19
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\quoteon(2021-01-16 14:17 - Student10023 im Themenstart)
Den einzigen unendlich dimensionalen Vektorraum den ich kenne ist K[x]
\quoteoff
Das ist doch schon einmal gut. Wie wäre es mit der Ableitung $f : K[x] \to K[x]$? PS: Worauf die anderen Antworten hier hinauswollen, verstehe ich auch nicht.
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Student10023
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19
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Hey Triceratops,
Danke für deine Antwort.
was genau meinst du mit der Ableitung ? Wie kann ich ein Polynom ableiten ?
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Triceratops
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-19
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https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#
Die Ableitung des Polynoms $a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots$ ist $n a_n X^{n-1} + (n-1) a_{n-1} X^{n-2} + \cdots$.
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Student10023
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19
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Achso ok man leitet also einfach ab wie eine Potenzfunktion in der Analysis. Liege ich damit richtig, dass für ein k aus den Natürlichen Zahlen gilt:
Ker(f^k) sind alle Polynom die einen kleineren grad als k haben (einen echt kleineren) ?
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ochen
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-01-19
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\quoteon(2021-01-19 00:16 - Triceratops in Beitrag No. 6)
PS: Worauf die anderen Antworten hier hinauswollen, verstehe ich auch nicht.
\quoteoff
Ich finde Wallys und meine Antwort gar nicht so schlecht :P
Wenn wir eine nilpotente Abbildung $f\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ wie z.B.
\[f((x,y,z)^t):=(y,z,0)^t\]
haben, kann man das schon ziemlich gut auf unendlichdimensionale Vektorräume wie z.B. $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ verallgemeinern (z.B. durch einen Links-Shift).
Die Abbildung liefert dann schon ein Gegenbeispiel dafür, dass der Kern ab irgendeinem Index nicht mehr größer wird.
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Triceratops
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-19
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@Student10023: Wenn $\mathrm{char}(K)=0$ (zum Beispiel, wenn $K = \IR$), dann ist $\ker(f^k) = \{p \in K[X] : \deg(p) < k\}$. Für $\mathrm{char}(K) = p > 0$ gilt das nicht mehr, zum Beispiel verschwindet die Ableitung von $X^p$ in Charakteristik $p$.
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ochen
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-01-19
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Wenn du beim Vektorraum $K[X]$ mit beliebigem $K$ bleiben willst, ginge auch
\[
f(p):= p\cdot X.
\]
Das ist dann so etwas wie ein Rechtsshift. Dann wird das Bild immer kleiner.
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Student10023
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19
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