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  lineare Differenzialgleichung 3. Ordnung herausfinden |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 |  Themenstart: 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebe Matheplanetarier
Ich grüble gerade an folgender Aufgabe:
Die Funktionen $y_1(t)=\mathrm{e}^{2t}+\mathrm{e}^t-\sin(t)$ und $y_2(t)=\mathrm{e}^t + \cos(t)$ sind Lösungen einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Bestimme die Differentialgleichung und gib seine allgemeine Lösung an.
Verwendbares Lemma:
Lösen $y_1$ und $y_2$ dieselbe inhomogene lineare DGL $n$-ter Ordnung ($n \in \N$) mit konstanten Koeffizienten, so ist $y_1-y_2$ eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.
Ausgangslage:
Betrachte die zu $y_1$ und $y_2$ gehörige Differentialgleichung
\[
\begin{align*}
a_3y'''(t) + a_2y''(t) + a_1y'(t) + a_0y(t) = s(t)
\end{align*}
\]
mit Inhomogenität (Störfunktion) $s$ und konstanten Koeffizienten $a_0,\ldots,a_3 \in \C$.
Ansatz:
Mit dem Lemma haben wir drei Informationen:
(1) $a_3y_1'''(t) + a_2y_1''(t) + a_1y_1'(t) + a_0y_1(t) = s(t)$.
(2) $a_3y_2'''(t) + a_2y_2''(t) + a_1y_2'(t) + a_0y_2(t) = s(t)$.
(3) $a_3(y_1'''(t)-y_2'''(t)) + a_2(y_1''(t)-y_2''(t)) + a_1(y_1'(t)-y_2'(t)) + a_0(y_1(t)-y_2(t)) = 0$.
Es gilt nun, einen Ausdruck für $s(t)$ zu finden sowie $a_0,a_1,a_2,a_3$ zu bestimmen.
Mein Gedanke ist jetzt, für $t$ verschiedene Werte einzusetzen und (hoffentlich) das ganze in ein lineares Gleichungssystem nach den vier Unbekannten $a_3,\ldots,a_0$ umzuformen (hier steht mir aber $s(t)$ noch im Weg rum beim ersten Ausprobieren). Koeffizientenvergleiche kann ich anschliessend -- so glaube ich -- nicht durchführen, weil Sinus und Kosinus periodisch sind. Ausserdem habe ich doch bislang noch nicht ausreichend Informationen, um mit 3 Gleichungen nach 5 Dingen aufzulösen...?
ok soweit?🤫\(\endgroup\)
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9728
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Phoensie,
geh da mal lieber anders heran und nutze aus, dass es eine Dgl. mit konstanten Koefizienten ist.
Wenn es eine homogene Dgl. wäre, welche Nullstellen müsste das charakteristische Polynom haben, damit \( y_1\) Lösung ist? Welche für \( y_2\)? Das sind insgesamt zu viele...
Aber \( y_1-y_2\) müsste die homogene Dgl. lösen...
Viele Grüße
Wally
\(\endgroup\)
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
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\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Danke Wally für deine prompte Antwort. Das charakteristische Polynom $P$ meiner DGL müsste
\[
P(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0
\]
sein. Aus der homogenen Lösung $y_1-y_2$ sollte man ja die Nullstellen von $P$ ablesen können. Es ist
\[
\begin{align*}
y_h(t)
&:= (y_1-y_2)(t) \\
&= \mathrm{e}^{2t} - \sin(2t) - \cos(2t) \\
&= \mathrm{e}^{2t} + \frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t} + \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}}{2} - \frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t} - \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}}{2\mathrm{i}} \\
&= \mathrm{e}^{2t} + \frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t} + \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}}{2} + \mathrm{i} \frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t} - \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}}{2} \\
&= \mathrm{e}^{2t} + \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right) \mathrm{e}^{2\mathrm{i}t} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i} \right) \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}
\end{align*}
\]
Ich sehe, dass $P(x)=(x-2)(x-x_1)(x-x_2)$ sein sollte, aber ich komme nicht weiter, wie ich diese zwei verbleibenden Nullstellen $x_1,x_2$ finde. Sind es evtl. $x_1=2\mathrm{i}$ und $x_2=-2\mathrm{i}$ ???\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-16
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Huhu Phoensie,
\quoteon(2021-01-16 15:06 - Phoensie im Themenstart)
Die Funktionen $y_1(t)=\mathrm{e}^{2t}+\mathrm{e}^t-\sin(t)$ und $y_2(t)=\mathrm{e}^t + \cos(t)$
\quoteoff
\quoteon(2021-01-16 15:30 - Phoensie in Beitrag No. 2)
$= (y_1-y_2)(t) $
$= \mathrm{e}^{2t} - \sin(\color{red}{2}t) - \cos(\color{red}{2}t) $
\quoteoff
irgendwas scheint da noch nicht zu stimmen.
Gruß,
Küstenkind
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-16
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Hi Phoensie,
in der Aufgabe ist ein Fehler.
e2t+et-sin t ist nicht Lösung einer DGL 3. Ordnung, sondern man muss eine DGL 4. Ordnung nehmen.
Gruß Buri
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-16
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\quoteon(2021-01-16 15:42 - Kuestenkind in Beitrag No. 3)
irgendwas scheint da noch nicht zu stimmen.
\quoteoff
Ups, da habe ich mich vertippt.
\quoteon(2021-01-16 15:43 - Buri in Beitrag No. 4)
Hi Phoensie,
in der Aufgabe ist ein Fehler.
e2t+et-sin t ist nicht Lösung einer DGL 3. Ordnung, sondern man muss eine DGL 4. Ordnung nehmen.
Gruß Buri
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\quoteoff
Danke Buri für die Rückmeldung; ich gebe das mal an die Übungsleiter durch und schaue dann, wie sie die Aufgabe anpassen.😁
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2570
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-16
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Huhu Phoensie,
die Aufgabe ist schon so in Ordnung. \(y_1\) und \(y_2\) sind Lösungen der DGL \(y''' - 2 y'' + y' - 2y=-2e^t \) - siehe hier.
Gruß,
Küstenkind
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Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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