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 Äquivalenzen zur σ-Additivität |
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Tamref
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Mitteilungen: 84
 |  Themenstart: 2021-01-16
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Ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:
\(R\) ist ein Ring und \(\nu:R \rightarrow [0,\infty)\) additiv.
Zeigen Sie die Äquivalenz von:
(i)
\[\nu \text{ ist $\sigma$-additiv} \]
(ii)
Für jede aufsteigende Folge \(\{A_i\}\subseteq R\) mit \(\bigcup_{i=0}^{\infty} A_i=A\) gilt:
\[\lim_{i\rightarrow \infty} \nu(A_i) = \nu(A)\]
(iii)
Für jede absteigende Folge \(\{B_i\}\subseteq R\) mit \(\bigcap_{i=0}^{\infty} B_i=\emptyset\) gilt:
\[\lim_{i\rightarrow \infty} \nu(B_i) = 0\]
Mein erster Gedanke bei solchen Aufgaben ist immer zu schauen, ob man einen Ringschluss zeigen kann um sich Teilrichtungen zu sparen, ich bin aber zu dem Schluss gekommen, dass sich das hier als schwierig entpuppen würde und möchte (i)\(\Leftrightarrow\)(ii) und (i)\(\Leftrightarrow\)(iii) über die vier Teilrichtungen zeigen.
Hoffentlich hilfreiches Lemma aus dem Skript:
Sei \((X,A,\mu)\) ein Maßraum.
1. Sei \(\{A_i\}\) eine aufsteigende Folge messbarer Mengen, dann gilt:
\[\mu\left(\bigcup_{i=0}^{\infty}A_i\right) = \lim_{i\rightarrow \infty}\mu(A_i)\]
2. Sei \(\{B_i\}\) eine absteigende Folge messbarer Mengen mit \(\mu(B_n)< \infty\) für mindestens ein \(n\in \mathbb{N}\), dann gilt:
\[\mu\left(\bigcap_{i=0}^{\infty}B_i\right) = \lim_{i\rightarrow \infty}\mu(B_i)\]
Beweis (der gestellten Aufgabe):
(i)\(\Rightarrow\)(ii):
\[\lim_{i\rightarrow \infty} \nu(A_i) = \nu\left(\bigcup_{i=0}^{\infty}A_i\right) = \nu(A)\]
Und wir sind schon fertig. Wobei das zweite Gleichheitszeichen nach der Annahme über die aufsteigende Folge gilt und das erste nach einem Lemma aus dem Skript, wobei bei dem Lemma \(\nu\) ein Maß sein muss, was es in unserem Fall nicht ist, da \(\nu\) jedoch trotzdem \(\sigma\)-additiv ist und die andere Maßeigenschaft im Beweis des Lemmas nicht gebraucht wird (oder ich habe es übersehen) bin ich davon ausgegangen, dass das trotzdem valide ist. Stimmt das?
(ii)\(\Rightarrow\)(i):
Hier wollte ich mich wieder an dem bereits erwähnten Lemma bedienen, diesmal aus dem Beweis.
Definiere: \(\bar{A}_1=A_1\)
\(\bar{A}_n=A_n \setminus A_{n-1}\)
So können wir eine Folge von disjunkten Mengen konstruieren und es gilt:
\[A_n= \bigcup_{i=1}^{n}\bar{A}_i\]
und damit
\[\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i= \bigcup_{i=1}^{\infty}\bar{A}_i\]
In dem Beweis von dem Lemma geht nun die \(\sigma\)-Additivität ein, diese will ich aber ja grade nachweisen. Ich müsste irgendwie wie additivität ausnutzen, aber das ich keinerlei Beschränkungen an die Mengenfolge habe, sehe ich nicht wie ich es auf eine endliche Anzahl an Mengen herunterbrechen kann und komme an diese Stelle demnach nicht weiter.
Die anderen zwei Richtungen habe ich mir noch nicht angesehen, wobei ich vermute, dass (i)\(\Leftrightarrow\)(iii) nach fast dem gleichen Muster zu zeigen sein wird wie (i)\(\Leftrightarrow\)(ii).
PS: Kann man hier irgendwie im Latexmode enumerate, equation, align und co verwenden?
VG Tamref
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