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Strukturen und Algebra » Polynome » Minimalpolynom bestimmen		Druckversion
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Universität/Hochschule Minimalpolynom bestimmen
Monopoly
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-16


Hallo,

ich möchte die folgende Aufgabe lösen:

\[ Sei \quad f(x):=x^3+x+1\ \in \mathbb{Q} \quad und \quad \alpha \in \mathbb{C} \quad eine \quad Nullstelle \quad von \quad f. \quad Ich \quad habe \quad gezeigt, \quad dass \quad f \quad irreduzibel \quad in \quad \mathbb{Q} \quad ist \quad und \quad (1+\alpha)^{-1} = \alpha^2-\alpha+2 \quad gilt.
\quad Nun \quad will \quad ich\quad das \quad Minimalpolynom\quad von \quad \alpha^2 \quad über \quad \mathbb{Q} \quad bestimmen  \]
Ich komme da aber nicht weiter und wäre über jede Hilfe dankbar.

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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-16


Multipliziere $\alpha^3+\alpha+1=0$ einmal mit $\alpha$.

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Monopoly
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Also, wenn ich das multipliziere erhalte ich:

\[ \alpha(\alpha^3+\alpha+1)=\alpha^4+\alpha^2+\alpha=:g(x),\quad  dann \quad ist\quad  aber \quad g(\alpha^2)=\alpha^8+\alpha^4+\alpha^2 = \alpha^2(\alpha^6+\alpha^2+1) \]  Also kann ich nicht sagen, dass g(a^2) gleich Null ist, oder?

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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-17


Das ist durcheinander. Wie definierst du $g(x)$ als ein Polynom in $x$?

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