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Elementare Zahlentheorie » Zahlen - Darstellbarkeit » Kurzer Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2
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Universität/Hochschule J Kurzer Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2
traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-17


Hallo,

Ich habe kürzlich folgenden Beweis für die Irrationalität von $\sqrt{2}$ gesehen:
Angenommen, $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ sei ein vollständig gekürzter, ECHTER Bruch, d.h. $q\neq 1$. Durch Quadrieren erhalten wir
$$2=\frac{p\cdot p}{q\cdot q}\enspace.$$ Da der Bruch $\frac{p}{q}$ vollständig gekürzt war, haben $p$ und $q$ keine gemeinsamen Teiler, also ist $\frac{p\cdot p}{q\cdot q}$ nicht weiter kürzbar, und da wegen $q\neq 1$ auch $q\cdot q\neq 1$, kann $\frac{p\cdot p}{q\cdot q}$ keine ganze Zahl sein, Widerspruch.

Dieser Beweis wäre nochmals kürzer und eleganter als der übliche Beweis von Euklid, aber ich kann meinen Finger nicht genau darauflegen, wo er fehlschlägt, wenn ich versuche zu beweisen, dass $\sqrt{4}$ irrational ist. Liegt es daran, dass man
$$\sqrt{4}=2=\frac{2}{1}$$ direkt hinschreiben kann und daher die Annahme, dass es ein ECHTER Bruch ist bereits a priori nicht machen darf? Aber wieso darf man dann die Annahme $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ machen und sie stellt sich erst am Ende als widersprüchlich heraus?

Beim üblichen Euklidischen Beweis lässt sich viel leichter verorten, wo der "Beweis" nicht mehr klappt: Aus $p^2=4n$ lässt sich nicht schliessen, dass $p=4m$.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-17


Aus deiner Argumentation folgt tatsächlich, dass die Wurzel einer natürlichen Zahl entweder ebenfalls natürlich oder aber irrational ist.

Dass dein Beweis "kürzer und eleganter" als der von Euklid ist, liegt daran, dass du den Schluss "$p$, $q$ teilerfremd $\implies$ $p^2$, $q^2$ teilerfremd" verwendest, ohne ihn zu beweisen.

--zippy



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-17


Ich versuch das etwas aufzudröseln. Angenommen ich schreibe

"Angenommen, $\sqrt{4}=\frac{p}{q}$ sei ein vollständig gekürzter, ECHTER Bruch, d.h. $q\neq 1$. Durch Quadrieren erhalten wir
$$4=\frac{p\cdot p}{q\cdot q}\enspace.$$ Da der Bruch $\frac{p}{q}$ vollständig gekürzt war, haben $p$ und $q$ keine gemeinsamen Teiler, also ist $\frac{p\cdot p}{q\cdot q}$ nicht weiter kürzbar, und da wegen $q\neq 1$ auch $q\cdot q\neq 1$, kann $\frac{p\cdot p}{q\cdot q}$ keine ganze Zahl sein, Widerspruch."

"Widerspruch" heisst hier, dass die Annahme "$\sqrt{4}=\frac{p}{q}$ sei ein vollständig gekürzter, ECHTER Bruch, d.h. $q\neq 1$" falsch ist, d.h. $\sqrt{4}=\frac{p}{q}$ ist kein vollständig gekürzter Bruch ODER kein ECHTER Bruch.

Also sowas wie
$$\left(\left(A\land B\right)\Rightarrow C\right)\Leftrightarrow\left(\lnot C\Rightarrow\left(\lnot A\lor\lnot B\right)\right)$$
Passt das so etwa?

EDIT: So richtig sauber scheint mir das noch nicht, da ja Aussage $B$ die Richtigkeit von Aussage $A$ erfordert (ein nicht vollständig gekürzter Bruch ist nie ein echter Bruch).



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-17


Du musst hier gar nicht mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten. Du zeigst einfach: Wenn sowohl $a$, $b$ als auch $p$, $q$ teilerfremde natürliche Zahlen sind und die Gleichung $\frac ab=\left(\frac pq\right)^2$ erfüllen, dann muss $p^2=a$ und $q^2=b$ sein.

Der Spezialfall $b=1$ liefert dann wieder die Aussage, dass die Wurzel einer natürlichen Zahl entweder ebenfalls natürlich oder aber irrational ist.



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