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Analysis » Maßtheorie » Radon-Nikodym-Dichte des Produktmaßes
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Universität/Hochschule J Radon-Nikodym-Dichte des Produktmaßes
Radix
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  Themenstart: 2021-01-17

Hallo! Seien \mue_1, \mue_2, \nue_1, \nue_2 sigmaendliche Maße mit \nue_1<<\mue_1 und \nue_2<<\mue_2. \(Das Symbol << bedeutet absolut stetig.\) Zeigen Sie: a) \nue_1 x \nue_2<<\mue_1 x \mue_2 (Produktmaße) b) (d\nue_1 x \nue_2)/(d\mue_1 x \mue_2) (\omega_1, \omega_2)=d\nue_1/d\mue_1 ((\omega_1))*d\nue_2/d\mue_2 ((\omega_2)) (Radon-Nikodym-Ableitungen) a) habe ich geschafft, aber bei b) komme ich auf ein Doppelintegral, wo ich wohl nicht einfach d\mue_1 d\mue_2 auf d\mue_1 x \mue_2 umformen darf oder? Hat jemand eine Idee für b)? Danke Radix

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michfei
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Dabei seit: 02.03.2022
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-03-06

Hallo Radix, nach dem Maßeindeutigkeitssatz reicht es, die Aussage für Zylindermengen zu zeigen (Die Menge der Zylindermengen ist nämlich ein durchschnittsstabiler Erzeuger der Produkt-\(\sigma\)-Algebra). Wir erhalten also: \[\nu_1 \otimes \nu_2 (A \times B) = \nu_1(A) \, \nu_2(B) = \int_A \frac{d \nu_1} {d \mu_1} (\omega_1) \, \mu_1(d \omega_1) \; \int_B \frac{d \nu_2} {d \mu_2} (\omega_2) \, \mu_2(d \omega_2) \\ = \int_A \int_B \frac{d \nu_1} {d \mu_1} (\omega_1) \frac{d \nu_2} {d \mu_2} (\omega_2) \, \mu_2(d \omega_2) \, \mu_1(d \omega_1) \\ = \int_{A \times B} \frac{d \nu_1} {d \mu_1} (\omega_1) \frac{d \nu_2} {d \mu_2} (\omega_2) \, \mu_1 \otimes \mu_2 (d(\omega_1, \omega_2)) \] Somit folgt die Aussage. LG

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