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 Q(a) isomorph Q[a] |
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juergenX
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Mitteilungen: 367
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2021-01-18 15:54 - Banana in Beitrag No. 8 schreibt:
EDIT: Hab mich nochmal kundig gemacht bezüglich der Definition von K(a). Nun ist mir klar, wieso die Gleichheit gilt.
Dennoch danke dir für die Antworten.
Achso, das war jetzt klar...
Jedoch hätte ich sonst noch gesagt, dass man jedes Element der algebraischen Körpererweiterung z.B. $x=3+2\sqrt2 \in Q(\sqrt2)$ auch als Vektor
$\displaystyle \vec x=\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}$ zur Basis
$\displaystyle B=\begin{pmatrix}
1 & \sqrt2
\end{pmatrix}$ darstellen lässt, und ist $\displaystyle \vec y=B\cdot\vec x=
\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}\cong 3+2\sqrt2$?
Zu zeigen dass
$K=Q(\sqrt2) \equiv L=Q[\sqrt2]$ durch einen Körperhomomorphismus also eine strukturerhaltende Abbildung $\chi (K,+.*)$ aufeinander bijektiv abgebildet werden können,ist nicht so trivial.
Es seien
$\displaystyle \vec a=\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}$.
$\displaystyle \vec b=\begin{pmatrix}
1 \\
-3
\end{pmatrix}$.
Vectoraddition in $L$ und normale Addition in $K$ sind leicht als Bijektion zu erkennen, denn $\displaystyle \overrightarrow{a+b}=\begin{pmatrix}
4 \\
-1
\end{pmatrix} \Leftrightarrow 3+2\sqrt2 + 1-3\sqrt2 = 4-\sqrt2$.
Nun zur Multiplikation:
$a*b \in K =(3+2\sqrt2) * (1-3\sqrt2)= -9 -\sqrt2$.
Folgendes ist vielleicht ganz falsch gefragt aber ich lass das mal so stehen.
Jedoch was ist $\displaystyle \overrightarrow{a\cdot b} \in L$? (a,b hier Vektoren):
$a*b=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}*
\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$?
Wir müssen Vektoren auf der einen und reelle Werte $\displaystyle a+\sqrt2$ auf der anderen Seite zusammenbringen.
Ist die Multiplikation im Raum
$\displaystyle L \supset Q = \det{ab}=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -3\end{pmatrix}$ so definiert?
Sorry ich frage, weil auf der einen Seite Vektoroperationen in Vektorräumen NICHT abelsch sind, aber wohl in $\displaystyle K\supset Q$.
Ist also für 2 Vektoren $\vec(a),\vec(b)$:
$\displaystyle \chi(a*b) = \chi(b*a)=\det{ab}=\det{ba}$ über die Determinante definiert?
Oder Kreuzprodukt?
Das würde passen. Weil wir hier für einen echten Körperhomomorphismus $\displaystyle \mathbb K \cong \mathbb L$ eine sinnvolle Multiplikation von Vektoren brauchen.
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juergenX
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|      Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21
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2021-01-18 19:07 - juergenX im Themenstart schreibt:
Nun zur Multiplikation:
$a*b \in K =(3+2\sqrt2) * (1-3\sqrt2)= -9 -\sqrt2$.
Vereinfacht: wie ist Multiplikation $\displaystyle \overrightarrow{a\cdot b} \in L$? (a,b hier Vektoren):
$a*b=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}*
\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ definiert?
Auf der einen Seite sind Matrix bzw. Vektoroperationen in Q-Vektorräumen zur Basis $(1,\sqrt2)$ NICHT abelsch, aber wohl in Körpererweiterungen $\displaystyle K(\sqrt2)\supset Q$.
Ist also für 2 Vektoren $\vec(a),\vec(b)$:
Gilt $\displaystyle a*b = b*a=\det{ab}=-\det{ba}$ über die Determinante ? Nicht eindeutig.
Und wie ist das Inverse von $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$?
es gibt wenn überhaupt verschiedene Links und Rechtsinverse
$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Oder
$\begin{pmatrix} x´ \\ y´ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
Wenn man $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ als Einselement zulaesst.
Wie ist dann der Quotient
$\displaystyle L \supset Q = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ div $\begin{pmatrix} 1 \\ -3\end{pmatrix}$ besimmt?
Oder nimmt man das Kreuzprodukt? was aber für Vektoren $ab \ne ba$ liefert.
Wir brauchen hier für einen echten Körperhomomorphismus $\displaystyle \mathbb K \cong \mathbb L$ eine sinnvolle Multiplikation von Vektoren.
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