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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Grassmann-Varietät normal ?
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Universität/Hochschule Grassmann-Varietät normal ?
UsernameTaken
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-20


Hallo Matheplanet,

ich frage mich, wie der Betreff schon verrät, ob die Grassmann Varietät
\(X:= Gr(k,n) \) normal ist. Arbeiten wir der Einfachheit halber mal mit einem algebraisch abgeschlossenen Körper \(K\).

Ich erhoffe mir einen Beweis (sofern es einen gibt) mithilfe der affinen Überdeckung, d.h. \( X = \bigcup_{i \in I_k^n} D_i \). Hierbei bezeichne \( I_k^n \) die Menge der aufsteigend sortierten \( k \)-Tupel
mit Einträgen in  \( \{ 1, ... , n\} \) und \( D_i \cong \mathbb{A}^{k(n-k)} \) die Nichtverschwindungsmenge der entsprechenden Plückerkoordinate.

Zu \( U \subset X \) ( Zariski ) offen, bezeichne \( \mathcal{O}_X(U) \) den Ring der in \( U \) regulären Funktionen. Dann ist zu zeigen, dass dieser ganz abgeschlossen (in seinem Quotientenkörper ?) ist. Hier hört mein Latein aber auf, denn ich sehe nicht einmal warum wir einen Integritätsbereich vorliegen haben.

Dies hängt wohl auch von der genauen Definition einer regulären Funktion auf einer projektiven Varietät ab.
Laut Wikipedia ist eine Funktion \( f:X \to K \) regulär auf \( U \) wenn jedes \( x \in U\) eine offene Umgebung \( V \subseteq U \) besitzt, sodass \( f = g/h \) auf V, für homogene Polynome \(g,h\) selben Grades, wobei \( h \) auf \(V\) nicht verschwindet.

Anderswo geht man (für irreduzible Varietäten) vom homogenen Funktionenkörper aus und nennt ein Element \(f\) in diesem reglär auf \(U \), falls \( \text{dom}(f) \supseteq U \).
Es ist mir unklar welche Definition zu verwenden ist.

Beste Grüße
UsernameTaken

Ps: Mein Vorwissen in der algebraischen Geometrie fällt (offensichtlich) eher gering aus. Begriffe wie Schemata und ähnliches sagen mir also noch nichts.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-20


Affine Räume sind normal, und Normalität lässt sich lokal testen.



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UsernameTaken
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20


Danke für die Antwort,

mein Problem beginnt wohl damit, dass ich die Definition von Normalität unter anderem von Wikipedia beziehe. Wie du an meinen ersten Beitrag sicherlich erkannt hast bestehen auch bei anderen Definitionen noch Verständnissprobleme.

Ich gebe hier zur Referenz mal die Definitionen an die ich kenne:
[Wikipedia]
Eine Varietät \( V \) heißt normal, falls in jedem Punkt \(x \) der lokale Ring \( \mathcal{O}_{V,x} \) ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

[SK]
Eine Affine Varietät V heißt normal falls ihr Koordinatenring ganz abgeschlossen ist.
Eine quasiprojektive Varietät P heißt normal falls jeder Punkt eine affine Umgebung besitzt, welche Normal ist.
Als äquivalent dazu wird angegeben, dass der Ring \( \mathcal{O}_P(U) \) ganzabgeschlossen für jede offene Teilmenge \( U \subseteq P \) ist.

Während ich dies tippe, erkenne ich also, dass letztere Definition meine Frage beantwortet und frage mich nun wieso der ganze Kram äquivalent ist. Herje.

[SK] www.math.kit.edu/iag3/lehre/alggeo2014s/media/alggeom.pdf



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-20


Es läuft darauf hinaus, zu zeigen, dass ein Integritätsring $A$ genau dann normal ist, wenn jede Lokalisierung $A_{\mathfrak{p}}$ normal ist (wobei $\mathfrak{p}$ alle Primideale von $A$ durchläuft). Den Beweis findest du in jedem Text zur algebraischen Geometrie oder kommutativen Algebra (sag' Bescheid, wenn du eine Empfehlung brauchst). Es folgt sofort aus den üblichen "Lokal-Global-Techniken", bzw. hier braucht man nur, dass $A \to \prod_{\mathfrak{p} \subseteq A \text{ prim}} A_{\mathfrak{p}}$ injektiv ist. Bei deiner Definition frage ich mich allerdings, was ein ganzabgeschlossener Ring sein soll, wenn er kein Integritätsring ist.



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UsernameTaken
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Es läuft darauf hinaus, zu zeigen, dass ein Integritätsring $A$ genau dann normal ist, wenn jede Lokalisierung $A_{\mathfrak{p}}$ normal ist (wobei $\mathfrak{p}$ alle Primideale von $A$ durchläuft). Den Beweis findest du in jedem Text zur algebraischen Geometrie oder kommutativen Algebra (sag' Bescheid, wenn du eine Empfehlung brauchst). Es folgt sofort aus den üblichen "Lokal-Global-Techniken", bzw. hier braucht man nur, dass $A \to \prod_{\mathfrak{p} \subseteq A \text{ prim}} A_{\mathfrak{p}}$ injektiv ist.

Ich versuche mich mal daran und sage Bescheid falls ich Hilfe brauche, danke für den Tipp !

Bei deiner Definition frage ich mich allerdings, was ein ganzabgeschlossener Ring sein soll, wenn er kein Integritätsring ist.

Genau das ist eines meiner Verständnisprobleme. Der Ring \( \mathcal{O}_X(U) \) der auf \( U \) regulären Funktionen sollte besser ein Integritätsring sein.
Nehmen wir mal die Definition von regulären Funktionen wie auf Wikipedia.

Identifiziere ich Funktionen aus \( \mathcal{O}_X(U) \) miteinander die auf \( U \) übereinstimmen, oder betrachte gleich nur auf \( U \) eingeschränkte Funktionen ? Andernfalls sehe ich nicht wieso das Produkt von zwei nicht trivialen regulären Funktionen nicht verschwinden kann, denn auf \( X \setminus U \) kann schließlich alles mögliche passieren.

Bei der anderen Definition über den homogenen Funktionenkörper ist die Nullteilerfreiheit geschenkt, aber diese wirkt mir weniger allgemein. Oder läuft der Begriff von Normalität den man daraus erhält wieder auf dasselbe heraus ?

Gute Literaturempfehlungen nehme ich stets dankend entgegen 🙂



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Vielleicht eine indirekte Antwort zur Integrität. Ich kenne die "klassische" algebraische Geometrie weniger als die in der Schemata-Sprache und ich fand die Übersetzung zwischen den beiden Welten ist nicht immer leicht.  

Für mich ist die grassmannische Varietät $X:=Gr(k,n)$ ein Schema (bzw. ein darstellbarer Funktor), das u.a. eine offene Überdeckung von endlich vielen affinen Räume $\mathbb{A}_{\IZ}^{k(n-k)}$ besitzt. Nun wissen wir, dass der affine Raum $\mathbb{A}_{\IZ}^{k(n-k)}$ regulär ist, denn der zugehörige Koordinatenring, also der Polynomring $\IZ[x_1,\ldots,x_{k(n-k)}]$ ist regulär. (Man kann zeigen, dass mit $A$ auch der Polynomring $A[x_1,\ldots,x_n]$ regulär ist.) Und jeder reguläre lokale Ring ist sogar faktoriell (Satz von Auslander–Buchsbaum), insbesondere sind die lokale Ringe $\mathcal{O}_{X,x}=\mathcal{O}_{\mathbb{A}_{\IZ}^{k(n-k)},x}$ Integritätsbereiche für alle Punkte $x\in X$. Also gilt für jedes affine offene Unterschema $U$, dass $\mathcal{O}_X(U)$ ein normaler Ring ist (faktorielle Ringe sind normal).

Wenn man die $K$-wertige Punkte von $X$ betrachtet ($K$ Körper), dann sollte man die klassische grassmannische Varietät bekommen. Vielleicht könnte man dann (auf diesem Umweg) die Normalität erhalten.
\(\endgroup\)


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