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Kein bestimmter Bereich J Pfeile bei Funktionen/Mengen
Magma93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-20


Seid gegrüßt!

Folgendes:
Es geht um Funktionen (Abbildungen) bei denen ich die symbolische Schreibweise sprachlich verstehen möchte. Genauer interessieren mich die verwendeten Pfeile.

Beispiel 1:
\[f: D \rightarrow Z\] Beispiel 2:
\[f: x \mapsto f(x)\]
1. Frage:
Wieso wird bei den Mengenbeziehung \(f: D \rightarrow Z\) ein solchartiger Pfeil \(\rightarrow \) verwendet?
Wieso wird bei der Elementbeziehung \(f: x \mapsto f(x)\) ein solchartiger Pfeil \(\mapsto\)verwendet ?

2. Frage:
Dürfte ich auch willkürlich die Pfeilarten angeben, sodass ich bei der Mengenbeziehung den Pfeil \(\mapsto\) verwende, also so angebe \(f: D \mapsto Z\) , und andersherum natürlich auch, also so angebe \(f: x \rightarrow f(x)\) ?

3. Frage:
Was genau bedeuten die Pfeile \(\rightarrow \) und \(\mapsto\) ?
Worin unterscheiden sie sich sprachlich gesehen bezogen auf diese Situation.

4. Frage:
Kann man sprachlich zum 1. Beispiel \(f: D \rightarrow Z\) folgendes sagen ?

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Die Menge \(D\) wird auf die Menge Z abgebildet.

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Die Menge \(D\) wird auf die Menge Z zugeordnet.

5. Frage:
Andersherum, kann man sprachlich zum 2. Beispiel \(f: x \mapsto f(x)\) folgendes sagen?

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Einem Element  \(x \) einer Menge \(D\) wird genau ein Element \(y \) einer Menge \(Z \) zzugeordnet

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Für ein Element  \(x \) einer Menge \(D\) wird genau ein Element \(y \) einer Menge \(Z \) abgebildet.


Danke, wer mir hier bisschen mehr Klarheit geben könnte.

EDIT-  
Habe beim Punkt 5 den Ausdruck vertauscht gehabt.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Ich würde sagen, das ist ein schönes Beispiel für Konventionen in der Mathematik.

Der normale Pfeil "\(\to\)" verknüpft einfach Urbild-und Bildmenge auf eine der Sache entsprechende Art und Weise: es geht ja um eine Abbildung.

Um das nicht mit der eigentlichen Zuordnungsvorschrift zu verwechseln, hat man sich hier irgendwann noch ein anderes Pfeilsymbol ausgedacht, eben das "\(\mapsto\)"-Zeichen.

Da hat sich bestimmt jemand etwas dabei gedacht, aber es dürfte schwierig werden überhaupt zu klären, auf wen diese Schreibweisen zurückgehen und was genau die Motivation für die Wahl der Symbole war.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Textsatz mit LaTeX' in Forum 'Notationen, Zeichen, Begriffe' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Magma93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20


Vielen Dank.

Ich habe also jetzt verstanden, dass dieser Pfeil \(\rightarrow\) bezogen auf Mengen einfach ein Verküpfungspfeil ist.
Es ist aber kein Implikationspfeil oder ? Denn in der Logik wird auch der Pfeil \(\rightarrow\) verwendet.

Stimmen ansonsten die Formulierungen, die ich tätigte?



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Diophant
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Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-01-20 20:56 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich habe also jetzt verstanden, dass dieser Pfeil \(\rightarrow\) bezogen auf Mengen einfach ein Verküpfungspfeil ist.

Hm. Mir wäre hier selbst das Wort Verknüpfung zu hoch angesetzt. Das hat mehr oder weniger den gleichen Informationsgehalt wie ein Wegzeiger an einer Kreuzung. Also es sagt wirklich nur aus: diese Abbildung bildet von A nach B ab. Abgekürzt eben \(f:\ A\to B\).

2021-01-20 20:56 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
Es ist aber kein Implikationspfeil oder ? Denn in der Logik wird auch der Pfeil \(\rightarrow\) verwendet.

Das ist richtig. Ich finde das auch manchmal verwirrend. Die beiden Verwendungen des gleichen Symbols haben in der Tat nichts miteinander zu tun. Das findet man aber in der Mathematik ja durchaus öfter. man muss das dann eben aus dem Kontext heraus richtig verstehen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-20


Hallo Magma93,

2021-01-20 19:38 - Magma93 im Themenstart schreibt:

4. Frage:
Kann man sprachlich zum 1. Beispiel \(f: D \rightarrow Z\) folgendes sagen ?

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Die Menge \(D\) wird auf die Menge Z abgebildet.

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Die Menge \(D\) wird auf die Menge Z zugeordnet.

5. Frage:
Andersherum, kann man sprachlich zum 2. Beispiel \(f: x \mapsto f(x)\) folgendes sagen?

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Einem Element  \(x \) einer Menge \(D\) wird genau ein Element \(y \) einer Menge \(Z \) zzugeordnet

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Für ein Element  \(x \) einer Menge \(D\) wird genau ein Element \(y \) einer Menge \(Z \) abgebildet.

Bei \(f: D \rightarrow Z\) würde ich wie folgt sprechen: f ist eine Funktion, die die Menge D in (nicht auf!) die Menge Z abbildet.

Und bei \(f: x \mapsto f(x)\): Ein Element x wird durch f auf f(x) (nicht y!) abgebildet. (Das Wort "zuordnen" könnte hier suggerieren, dass die Abbildung eineindeutig ist, aber das ist vielleicht Geschmackssache.) Auf jeden Fall wird durch \(f: x \mapsto f(x)\) allein weder D noch Z in irgendeiner Weise spezifiziert.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2021-01-20 21:04 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:

2021-01-20 20:56 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
Es ist aber kein Implikationspfeil oder ? Denn in der Logik wird auch der Pfeil \(\rightarrow\) verwendet.

Das ist richtig. Ich finde das auch manchmal verwirrend. Die beiden Verwendungen des gleichen Symbols haben in der Tat nichts miteinander zu tun. Das findet man aber in der Mathematik ja durchaus öfter. man muss das dann eben aus dem Kontext heraus richtig erstehen.

Die Symbole stehen u.U. auch tatsächlich für genau das gleiche, nämlich: $X \to Y$ ist der Typ der Funktionen von Typ $X$ nach Typ $Y$. Im Fall, dass $X$ und $Y$ Aussagen sind, ist ein Element von $X \to Y$ ein "Beweis" für die mit diesem Typ auch gemeinte Implikation.
In Lean z.B. kann man deshalb sowohl Funktionen wie auch Beweise von Implikationen in Form von Lambda-Ausdrücken spezifizieren.
\(\endgroup\)


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Magma93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Hallo StrgAltEntf,


Bei \(f: D \rightarrow Z\) würde ich wie folgt sprechen: f ist eine Funktion, die die Menge D in (nicht auf!) die Menge Z abbildet.

Danke für die Verbesserung mit dem ,,nicht auf" sondern eher ,,in".
Danke auch für die mögliche Aussprache.

Da ich jedoch gerne so gut wie möglich an der mathematischen Symbolik diesen mathematischen Ausdruck \(f: D \rightarrow Z\) aussprechen will, würde es somit richtigerweise so lauten:

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Die Menge \(D\) wird in die Menge  \(Z\) abgebildet.

oder

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Die Menge \(D\) wird der  Menge Z zugeordnet.

oder (ist mir jetzt neu eingafellen aufgrund der Aussage von tactac, als er sagte, dass der Pfeil \(\rightarrow\) auch in dieser Mengenschreibweis die Implikation meint):

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Die Menge \(D\) impliziert  Menge \(Z \).

oder mit anderen Worten:

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Die Menge \(D\) ist mit enthalten in der Menge \(Z \).

Der Ausspruch ,,mit enthalten in" bedeutet eben die Implikation \(\rightarrow \).


Stimmst du mir soweit zu hier?


Auf jeden Fall wird durch \(f: x \mapsto f(x)\) allein weder D noch Z in irgendeiner Weise spezifiziert.

Ich verstehe, dann dürfte ich hier gar nicht die Mengen aussprechen, weil der Ausdruck dies nicht hergibt. Demnach lautet der Ausdruck  \(f: x \mapsto f(x)\) sprachlich folgendermaßen:

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Jedem Element \(x \) wird genau ein Element \(f(x) \) zugeordnet.

6. Frage:
Die Frage die sich mir hier stellt ist, ob jetzt dieser Zuordnungspfeil \(\mapsto \) auch eine Implikation meint, oder ist es jetzt ein eigenständig definierter Pfeil, der einzig und alleine die Zuordnung zweier Elemente meint?

Wenn der Pfeil auch die Implikation meinen würde, dann hieße der Satz auch:

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Jedem Element \(x \) wird genau ein Element \(f(x) \)impliziert.

oder

Für die Funktion \(f \) gilt folgendes: Bei jedem Element \(x \) wird  genau ein Element \(f(x) \) mit enthalten sein.

Danke, für die nächste Rückmeldung.



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Magma93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Hallo tactac,
vielen Dank.

7. Frage
 Also habe ich es jetzt richtig verstanden, dass du gemeint hast, dass auch in der Mengenlehre der Pfeil \( \rightarrow \) für eine Implikation steht?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-21


2021-01-21 00:40 - Magma93 in Beitrag No. 7 schreibt:
 Also habe ich es jetzt richtig verstanden, dass du gemeint hast, dass auch in der Mengenlehre der Pfeil \( \rightarrow \) für eine Implikation steht?

Nein. Vereinfacht gesagt, ist es eher umgekehrt: Du kannst Implikationen als Funktionen begreifen. Ersetze dafür "$x$ ist ein Element der Menge $X$" durch "$x$ ist ein Beweis für die Aussage $X$". Dann ist eine Funktion von einer Aussage $X$ in eine Aussage $Y$ also eine Zuordnung, die jedem Beweis von $X$ einen Beweis von $Y$ zuordnet. Das heißt, das ist ein Beweis für die Implikation von $X$ nach $Y$. Es sei dir aber versichert, dass diese Sichtweise auf Implikationen nichts ist, was man üblicherweise Anfänger*innen beibringt, und dass selbst viele Mathematiker*innen davon gar nichts wissen. Wenn es dich mehr verwirrt als es weiterhilft, würde ich raten, es einfach zu ignorieren.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2021-01-21 00:40 - Magma93 in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo tactac,
vielen Dank.

7. Frage
 Also habe ich es jetzt richtig verstanden, dass du gemeint hast, dass auch in der Mengenlehre der Pfeil \( \rightarrow \) für eine Implikation steht?

Wenn man Mengenlehre betreibt, steht $\to$ auf jeden Fall für Implikationen. Daneben kann es vorkommen, dass man so einen Pfeil zwischen Mengen oder Klassen schreiben kann und mit $f \colon X \to Y$ meint, dass $f$ eine Funktion von $X$ nach $Y$ ist.

In #5 meinte ich aber, dass die erste Bedeutung ein Spezialfall der zweiten sein kann. Es ist nicht üblich, die Dinge in einem Mengentheorie-Kontext so zu basteln (es wird einfach eine schon vorhandene Logik benutzt), aber wenn man es tun würde, ginge es so vonstatten, dass man (nachdem man irgendwie definiert hat, wie man aus alten Mengen neue basteln darf, wie man Funktionen zwischen Mengen angeben kann, ...) einige "Mengen" als "Aussagen" deklariert, ihre Elemente als "Beweise" ansieht usw.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Magma93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Hallo Triceratops,

aber tictac schrieb jetzt wieder in seinem letzten Beitrag, dass mit dem Pfeil ein Implikation gemeint sei.
Und du schreibst, dass es umgekehrt sei. Wer hat jetzt recht?

Du hast geschrieben:
Ersetze dafür "x ist ein Element der Menge X" durch "x ist ein Beweis für die Aussage X".

Was genau hat das mit den Pfeilen zutun? Meinst du damit, dass ein Beweis in dem Sinne ein Element wäre ?

Danke für die Hilfe.



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Diophant
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Hallo Magma93,

ich glaube das ist auch alles eine Frage, wie weit man den Funktionsbegriff fasst.

Meine Antworten jedenfalls zielten auf den klassischen Funktions/Abbildungsbegriff ab, wie man ihn aus der Analysis, der Algebra und der Linearen Algebra kennt.

tactac und Triceratops haben in ihren Antworten beide dieses Konzept viel allgemeiner interpretiert (was ich sehr interessant finde).


Gruß, Diophant



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Magma93
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-23


Vielen Dank!



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Magma93 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Magma93 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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