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Strukturen und Algebra » Gruppen » Ist H abelsch, so ist U ein Normalteiler
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Universität/Hochschule J Ist H abelsch, so ist U ein Normalteiler
Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-20


Hallo zusammen,
es geht um folgende Aufgabe:

Seien $G, H$ Gruppen, $\phi: \ G \rightarrow H$ ein surj. Gruppen-Homomorphismus und $U \leq G$ eine Untergruppe mit $ker(\phi) \subseteq U$. Zeigen Sie: Ist $H$ abelsch, so ist $U$ ein Normalteiler.

Meine Idee.
Da $U \leq G$, folgt $V:=\phi(U) \leq H$. Da $H$ abelsch ist, ist $V \trianglelefteq G$. Somit ist auch $\phi^{-1}(V) \trianglelefteq G$.

Nun müsste ich nur noch zeigen, dass $U= \phi^{-1}(V)$ gilt. Da der Kern der Abbildung ebenfalls ein Normalteiler ist, weiß ich zumindest, dass $U$ „zwischen zwei Normalteilern“ liegt: $ker(\phi) \subseteq U \subseteq \phi^{-1}(V)$. Wohlmöglich kann man daraus etwas folgern. Mir ist allerdings nichts bekannt.
Die Surjektivität habe ich noch nicht genutzt, jedoch weiß ich nicht, was sie mir in diesem Fall bringen könnte.


Danke schon mal für eure Antworten!



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-21


Benutze den Korrespondenzsatz. Dieser beinhaltet unter anderem, dass in dieser Situation hier $U$ genau dann ein Normalteiler in $G$ ist, wenn $U/\ker(\varphi)$ ein Normalteiler in $G/\ker(\varphi)$ ist. Das ist aber klar, weil $G/\ker(\varphi)$ zu etwas isomorph ist, was offensichtlich abelsch ist (mehr verrate ich nicht).



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-21


Zu deinem Ansatz: Ja, es gilt $U = \varphi^{-1}(\varphi(U))$, auch das ist Teil des Korrespondenzsatzes. Die Inklusion $\subseteq$ ist trivial, die Inklusion $\supseteq$ folgt sofort aus $\ker(\varphi) \subseteq U$ mit dem erzwungenen Beweis (LinkWie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann).



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-21


Hi,

Der direkte Beweis ist auch mehr oder weniger erzwungen: Sei $u \in U, g \in G$; wir wollen $gug^{-1} \in U$ zeigen. Irgendwie muss man nach H kommen; die einzige Möglichkeit ist also, sich $\phi (gug^{-1})$ anzuschauen und H abelsch zu verwenden. Dann muss man noch die Voraussetzung $\ker(\phi) \subset U$ verwenden; ein Element des Kerns von $\phi$ drängt sich dann aber schon auf.

vG,
Fabi



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Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Danke für eure Antworten.

Da wir den Korrespondenzsatz noch nicht hatten, fahre ich mal mit meinem ansatz fort.

Ich möchte also $\phi^{-1}(\phi(U)) \subseteq U$ zeigen.

Sei also $\tilde{u} \in \phi^{-1}(\phi(U))$. Wir müssen $\tilde{u} \in U$ zeigen.

Es gilt: $\tilde{u}=\phi^{-1}(\phi(u))$ für ein $u \in U$
$\Rightarrow \phi(\tilde{u})= \phi(u)$
$\Rightarrow \phi^{-1}(\phi(\tilde{u})) \in \tilde{U}$ mit $\tilde{U}=\{ g \in G \ \vert \ \phi(g)=\phi(\tilde{u})\}$

Leider hilft mir dieser Ansatz nicht weiter.

Ich könnte versuchen $\tilde{u}$ als Verknüpfung zweier Elemente aus $U$ darzustellen, aber wüsste nicht wie. Auch wenn ich $\tilde{u}$ versuche mit einem Element aus dem Kern zu verknüpfen, erhalte ich nichts, was mir hilft.



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Fabi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-22


Du hast noch eine Voraussetzung, die du noch nicht verwendet hast.

vG,
Fabi


-----------------
"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-22


Und ich hatte dir sogar genau die Voraussetzung geschrieben, die zu verwenden ist (und es ist ja auch die einzige, die man hier hat).



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Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Ja, $ker(\phi) \subseteq U$ habe ich noch nicht verwendet. Der Grund ist, dass ich nicht weiß, wie ich es nutzen kann. Da ich auf nichts gekommen bin, dachte ich, ich schaue mir einfach mal ein Element aus dem Kern an, verknüpfe es mit $\tilde{u}$, wende die Funktion drauf an usw. Aber das bringt mir auch nichts.

Ich kann noch sagen, dass der Kern sowohl in $U$ als auch in $U'=\phi^{-1}(V)$ enthalten ist. Und ich vermute, dass zumindest $\tilde{u}=\phi^{-1}(\phi(u))$ für ein $u \in U$ der richtige Ansatz ist. Habe mir auch schon ein Bild dazu gemalt, wie es in dem verlinken Artikel gesagt wurde, jedoch entwickelt sich keine Idee dadurch.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-22


Du verwendest die falsche Definition von $\phi^{-1}$.

de.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik)

Und wie man auf ein Element im Kern kommt: $\phi(a) = \phi(b) \iff \phi(a b^{-1})=1$.



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Bruce94
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Ok, hab's gecheckt...es war eigentlich tatsächlich sehr erzwungen. Vielen Dank!



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