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Analysis » Topologie » Abgeschlossene Mengen
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Universität/Hochschule Abgeschlossene Mengen
levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-21


Hallo,
ich habe eine Aufgabe, in der ich nicht weiterkomme.
Ich soll zeigen:
\(\overline{M}\) ist abgeschlossen.

M ist abgeschlossen, falls der Rand von M in M enthalten ist.
Außerdem ist \(\overline{M}=M\cup\partial M\), wobei \(\partial M\) der Rand von M ist und M eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^{n}\).
Definition Randpunkt: x ist Randpunkt von M, falls für alle r>0 \(B_{r}(x)\cap M\neq \text{leere Menge}\) und
\(B_{r}(x)\cap M^{c}\neq \text{leere Menge}\). Die Menge aller Randpunkte ist dann der Rand. Und B_r(x) ist der abgeschlossene Ball um x mit Radius r.
Kann mir jemand einen Tipp geben? Bitte keine Lösungen. Nur einen Tipp, der mich in die Richtung führt.
Danke.
Levin.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

zeige, dass das Komplement von $\overline M$ offen ist. Wiederhole falls nötig die Definition einer offenen Menge in einem metrischen Raum.
\(\endgroup\)


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levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Es gilt also
\(\overline{M}^{c}=M^{c}\cap (\partial M)^{c}\).
Wie hilft mir das? Über M im R^n weiß ich doch zunächst nichts?
Danke für deine Hilfsbereitschaft.
Levin



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Die in #0 aufgezählten Definitionen reichen schon fast alleine, man muss nicht einmal alles über $\IR$ und $B_r$ wissen. Was man darüberhinaus braucht, ist lediglich soetwas wie:

* $r > 0 \implies r/2 > 0$,
* $y \in B_{r/2}(x) \land z \in B_{r/2}(y) \implies z \in B_r(x)$,
* $y \in B_{r/2}(x) \implies y \in B_r(x)$.
\(\endgroup\)


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levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Du meinst also, ich soll direkt zeigen, dass \(\overline{M}\) abgeschlossen ist?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ja. Wenn man ein paar der Definitionen expandiert, ist also $$\partial(M\cup\partial M) \subseteq M\cup\partial M$$ zu zeigen.
\(\endgroup\)


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levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Ok. Ich sehe aber beim besten Willen nicht, wie ich deine in No. 3 formulierten Hinweise nutzen soll.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Fange einfach erstmal an, die Teilmengenbeziehung zu beweisen. Etwa:

Sei $x \in \partial(M\cup\partial M)$. Wir zeigen nun $x \in  M\cup\partial M$. Wegen des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten ist $x \in M$ oder $x \notin M$. Im ersten Fall sind wir fertig. Im zweiten wissen wir zusätzlich $x \notin M$ und zeigen $x \in \partial M$. Sei dazu $r > 0$ beliebig. ...
\(\endgroup\)


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levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Ok. Ich mache mal weiter mit dem 2. Fall.: Zu zeigen \(x\in \partial M\)
Es muss also für alle r>0 \(B_{r}(x)\cap M\neq \emptyset\) und \(B_{r}(x)\cap M^{c}\neq \emptyset\) gezeigt werden.
Es gilt \(\partial M= \partial M^{c}\). Das heißt, \(x\in \partial M^{c}\). Folgt nun das Gewünschte hieraus? Oder brauch ich noch ein Argument?




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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2021-01-21 16:47 - levin_chich in Beitrag No. 8 schreibt:
Ok. Ich mache mal weiter mit dem 2. Fall.: Zu zeigen \(x\in \partial M\)
Es muss also für alle r>0 \(B_{r}(x)\cap M\neq \emptyset\) und \(B_{r}(x)\cap M^{c}\neq \emptyset\) gezeigt werden.
Es gilt \(\partial M= \partial M^{c}\). Das heißt, \(x\in \partial M^{c}\). Folgt nun das Gewünschte hieraus?
Weiß ich nicht, vermutlich nicht.

Oder brauch ich noch ein Argument?
Man kann ausnutzen, dass $x \in \partial(M\cup\partial M)$.
An der Stelle, wo du zeigen willst, dass für alle $r > 0$ der Ball $B_r(x)$ sowohl ein Element in $M$ als auch eins in $M^c$ hat, kannst du also aus dem $r$ irgendein $r' > 0$ erzeugen, und damit einen Punkt in $B_{r'}(x) \cap (M \cup \partial M)$ und einen in $B_{r'}(x) \cap (M \cup \partial M)^c$ erhalten, mit denen du weiterrechnen kannst.
\(\endgroup\)


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levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Komme leider auf keinen grünen Zweig. Dennoch Danke für eure Hilfsbereitschaft und Tipps.
Levin



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Ich führe Tactacs Überlegung noch weiter aus:

Per Definition aus dem Themenstart ist $\overline M$ abgeschlossen, genau dann, wenn $\partial \overline M \subset \overline M$ gilt.

Sei also $x\in \partial\overline M$ (*). Zu zeigen ist $x\in \overline M$.
Der Fall $x\in M$ ist klar (warum?).
Sei also $x\in M^c$. Wir werden sogar $x\in \partial M$ zeigen. Dazu müssen wir für beliebiges $r>0$ zeigen, dass $B_r(x)\cap M$ und $B_r(x)\cap M^c$ nicht leer sind.

Ein Element von $B_r(x)\cap M^c$ kann man direkt angeben.

Um ein Element von $B_r(x)\cap M$ zu finden, benutzen wir (*). Nach (*) gibt es nämlich insbesondere für jedes $r'$ ein Element $y\in B_{r'}(x)\cap \overline M$ (den genauen Wert von $r'$ werden wir später noch festlegen).

Hier kannst du wieder weitermachen: Benutze die Definition von $\overline M$ um ein Element $y'\in B_r(x)\cap M$ zu finden.
\(\endgroup\)


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