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Analysis » Topologie » Abschluss von M in A, wenn M ⊆ A
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Universität/Hochschule Abschluss von M in A, wenn M ⊆ A
levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-21


Ich soll zeigen, dass \(\overline{M}\subset A\) falls M in A enthalten ist und A abgeschlossen ist.

Ich versuche mal einen Beweis per Widerspruch. Sei also \(x\notin A\) aber \(x\in\overline{M}\) und \(M \subset A\).
Sei also \(x\in \overline{M}\) aber $x\notin A$. Da A abgeschlossen ist, ist \(\partial A\subset A\). D.h. insbesondere, dass x nicht im Rand von A ist.
Das heißt aber, dass es ein r>0 gibt mit \(B_{r}(x)\cap A=\emptyset\) oder \(B_{r}(x)\cap A^{c}=\emptyset\). Es muss  \(B_{r}(x)\cap A=\emptyset\) gelten.
Leider bleibe ich hier hängen. Wie kriege ich jetzt einen Widerspruch?
Levin.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-21

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Hallo,

2021-01-21 15:15 - levin_chich im Themenstart schreibt:
Wie kriege ich jetzt einen Widerspruch?

Ich würde sagen: du hast ihn doch bereits gefunden. \(x\in A\wedge B_r(x)\cap A=\emptyset\) ist doch der Widerspruch.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21

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2021-01-21 17:00 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
\(x\in A\wedge B_r(x)\cap A=\emptyset\) ist doch der Widerspruch.
Hallo,
könntest du mir das erklären? Es gilt doch zunächst nur \(x\notin A\). Also \(x\in A^{c}\).
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-21


Hallo,

sorry, da hatte ich mich vertan. Ich werd mal nochmal darüber nachdenken. Muss es denn ein indirekter Beweis sein?


Gruß, Diophant



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \)
2021-01-21 17:00 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
\(x\in A\wedge B_r(x)\cap A=\emptyset\) ist doch der Widerspruch.
Hi Diophant,
aber x∈A ist nicht vorausgesetzt, es gilt x∉A.
Gruß Buri

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


2021-01-21 17:12 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Muss es denn ein indirekter Beweis sein?
Nein. Es kann natürlich auch ein direkter Beweis sein.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmal,

könnte man nicht einfach argumentieren, dass \(B_r(x)\) wegen \(x\in\overline{M}\) Elemente aus \(M\) enthalten muss? Damit wäre ja dann mit \(B_r(x)\cap A=\emptyset\) der Widerspruch gegeben, da \(M\subset A\) nach Voraussetzung.


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Da \(x\overline{M}=M\cup \partial M\) kann ich folgendermaßen weitermachen. Es gilt nämlich \(x\in M\) oder \(x\in\partial M\).
Im Fall \(x\in M\) ist der Widerspruch offensichtlich. Nun versuche ich den kniffligen zweiten Fall.
Es sei also \(x\in \partial M\). D.h. also für alle r>0 \(B_{r}(x)\cap M\neq\emptyset\) und \(B_{r}(x)\cap M^{c}\neq \emptyset\).
Nun muss ich hieraus einen Widerspruch basteln.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-01-21 21:35 - levin_chich in Beitrag No. 7 schreibt:
Da \(x\overline{M}=M\cup \partial M\) kann ich folgendermaßen weitermachen. Es gilt nämlich \(x\in M\) oder \(x\in\partial M\).
Im Fall \(x\in M\) ist der Widerspruch offensichtlich. Nun versuche ich den kniffligen zweiten Fall.
Es sei also \(x\in \partial M\). D.h. also für alle r>0 \(B_{r}(x)\cap M\neq\emptyset\) und \(B_{r}(x)\cap M^{c}\neq \emptyset\).
Nun muss ich hieraus einen Widerspruch basteln.

aber ist nicht der Widerspruch zwischen \(B_{r}(x)\cap M\neq\emptyset\) auf der einen und \(B_r(x)\cap A=\emptyset\) wegen \(M\subset A\) offensichtlich?

Wenn ich es richtig interpretiere, dann hast du ja im Prinzip jetzt das formal gemacht, was ich vorhin in verbaler Form vorgeschlagen hatte.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Hallo Diophant,

so ganz sicher bin ich mir leider noch nicht. Bin ziemlich verwirrt. Mich wundert nur, das ich bisher an keiner Stelle die Abgeschlossenheit von A benutzt habe.
Levin



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levin_chich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Ich glaube ich habe es nun:
Es ist A abgeschlossen und \(M\subset A\). Da A abgeschlossen ist, muss deshalb auch \(\partial M\) in A enthalten sein. Was aber bedeutet, dass x in A enthalten sein muss. Das ist ein Widerspruch.
Passt das so?



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-21


2021-01-21 21:59 - levin_chich in Beitrag No. 10 schreibt:
... muss deshalb auch \(\partial M\) in A enthalten sein.
Passt das so?
Hi levin_chich,
nein, das ist nur eine Umformulierung der Behauptung.
Gruß Buri



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levin_chich
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Hallo Buri,
danke für das Feedback. Dann versuche ich es weiter.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Oder ist es so einfach, dass jeder weitere Tipp direkt zur Lösung führen würde?
Levin.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-22


2021-01-21 21:50 - levin_chich in Beitrag No. 9 schreibt:
Mich wundert nur, das ich bisher an keiner Stelle die Abgeschlossenheit von A benutzt habe.

Die Abgeschlossenheit von $A$ wird benutzt, um aus $x\notin A$ zu schließen, dass es eine Umgebung $B_r(x)$ mit $B_r(x)\cap A=\emptyset$ gibt.

[Zur Erinerung: 1. Das Komplement einer abgeschlossenen Menge ist offen. 2. Eine offene Menge enthält mit jedem Element auch eine Umgebung dieses Elements.]

2021-01-21 22:07 - levin_chich in Beitrag No. 12 schreibt:
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben?

Diophant hat dir in Beitrag Nr. 6 die Lösung doch schon hingeschrieben:
1. Nimm an, dass $\overline M\not\subseteq A$ ist.
2. Dann gibt es ein $x\in\overline M$ mit $x\notin A$.
3. Da $A$ abgeschlossen ist, gibt es eine Umgebung $B_r(x)$ mit $B_r(x)\cap A=\emptyset$.
4. Aufgrund der Definition von $\overline M$ muss $B_r(x)$ ein $m\in M$ enthalten.
5. Nach 3. wäre dieses $m\notin A$, was $M\subseteq A$ widerspricht.
6. Also ist die Annahme $\overline M\not\subseteq A$ falsch und somit $\overline M\subseteq A$ richtig.



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