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Universität/Hochschule J Galois-Erweiterungen
Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-21


Hallo liebes Matheforum.

Es sei \(\mathbb{Q}\) \(\to\) \(\text{L}\) \(\subset\) \(\mathbb{R}\)

eine Galois-Erweiterung mit Gal(L\\(\mathbb{Q}\)) \(=\) \(S_4\).


Meine Fragen:

1. Was kann man bereits über den Erweiterungsgrad sagen? Denke, dass dieser endlich sein muss.

2. Ist eine Galois-Erweiterung stets endlich, wenn die zugehörige Galoisgruppe endlich ist? Gilt auch die Umkehrung?

3. Die Galoisgruppe dieser Erweiterung sei nicht bekannt. Ist die Erweiterung dann trotzdem immer endlich?


Ich würde mich über jede Hilfe sehr freuen. 🙂



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-21


Ich gehe davon aus, du meinst $\mathrm{Gal}(L/\IQ) \cong S_4$. Die Galoisgruppe ist also endlich und hat $24$ Elemente. Nun wirst du in jedem Algebra-Buch den folgenden Sachverhalt finden (im übrigen auch in meinem Artikel LinkEin einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie): Wenn $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung ist, dann ist $[L:K] = \mathrm{ord}(\mathrm{Gal}(L/K))$. Wenn du also wüsstest, dass $ L/\IQ$ endlich ist, weiß man sofort, dass der Grad ebenfalls $24$ ist. Nun angenommen, $L/\IQ$ ist eine unendliche Galoiserweiterung. Dann kann man zeigen, dass $\mathrm{Gal}(L/\IQ)$ ebenfalls unendlich ist, was hier also nicht der Fall ist. Das Argument geht so: Wenn $L/\IQ$ nicht endlich ist, gibt es eine echt aufsteigende Folge von endlichen Zwischenkörpern $\IQ = L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset \cdots \subseteq L$, wobei man jeweils $L_i / \IQ$ als Galoisch annehmen kann. Die Grade $[L_i : \IQ]$ sind also ebenfalls echt aufsteigend, sodass die Ordnungen der Galoisgruppen $\mathrm{Gal}(L_i/\IQ)$ es ebenfalls sind. Weil man aber einen surjektiven Homomorphismus von Gruppen $\mathrm{Gal}(L/\IQ) \to \mathrm{Gal}(L_i/\IQ)$ hat, folgt, dass die Ordnung von $\mathrm{Gal}(L/\IQ)$ größer als jede natürliche Zahl und damit unendlich ist.



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Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Aaah, vielen Dank, Triceratops. 🙂


Eine Frage noch zum Hauptsatz der Galois-Theorie.


Die Voraussetzungen für den Satz sind ja:

Es sei L/K eine endliche Galoiserweiterung mit G = Gal(L/K).

G ist dabei eine Untergruppe von Aut(L).


Kann man den Satz bei jeder endlichen Galoiserweiterung anwenden?  Oder gibt es Fälle, wo G aus irgendeinem Grund nicht gleich Gal(L/K) ist?






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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Hi,

vielleicht verstehe ich deine Frage falsch, aber ihr bezeichnet bloß $\operatorname{Gal}(L/K)$ durch $G$ (um weniger Schreibarbeit zu haben).

Eine andere Frage wäre, ob jede endliche Gruppe die Galoisgruppe einer endlichen Galoiserweiterung $L/K$, gegeben einem Körper $K$, ist. Das wäre das sogenannte inverse Galois Problem.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


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Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Das dachte ich auch, aber irgendwie hörte es sich nach einer Voraussetzung an.

Man kann den Satz demnach immer anwenden, falls eine endliche Galois-Erweiterung vorliegt?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-21


Ja.


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Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Liege ich eigentlich richtig mit meiner Vermutung, dass es dann 3 Zwischenkörper M mit \([M:\mathbb{Q}\)] \(=\) 4 gibt?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-21


Wie begründest du das denn?



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Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-21


Die Gruppe \(S_4\) hat ja 24 Elemente und 30 Untergruppen (das hatten wir in der Vorlesung). Somit gibt es wegen dem Hauptsatz der Galois-Theorie auch 30 Zwischenkörper.

Es soll gelten: \([M:L^G]\) = 4.


Für eine Untergruppe H \(\subseteq\) G muss \([G:H]\) = \([L^H:L^G]\) erfüllt sein. Aus der Vorlesung wissen wir dass es 4 Untergruppen H gibt mit 6 Elementen. Somit gibt es dann 4 Zwischenkörper.


Eben habe ich mich verschrieben, meinte 4 Zwischenkörper.




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-21


Ja, das ist richtig. (Nur meintest du $[M: L^H]$.)



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Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Hast du einen Tipp, wie man zeigen kann, dass es keinen Zwischenkörper \(M'\) gibt mit \(\mathbb{Q}\) \(\subsetneq\) \(M'\) \(\subsetneq\) \(M\)?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-22


Das ist äquivalent dazu, dass $H$ eine maximale Untergruppe von $S_4$ ist. Aber das ergibt sich aus eurer Klassifikation der Untergruppen von $S_4$. (Natürlich braucht man hier viel weniger. Zum Beispiel wäre ja aus Indexüberlegungen lediglich zu widerlegen, dass $S_3 \subseteq A_4$.)



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Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Stimmt. Danke für den Tipp! 🙂



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Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Wie könnte man zeigen, dass jedes Element \(m\in\) \(M        \setminus\mathbb{Q}\) ein primitives Element von \(M\) ist?

Der Satz vom primitiven Element sagt nur aus, dass so ein \(m\) existiert.



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Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Und wie zeigt man, dass \(m\in\) \(M\) nur dann konstruierbar ist, wenn
\(m\) \(        \in\) \(\mathbb{Q}\)?

Dass es keine Folge von Körpererweiterungen mit Grad 2 gibt, sodass m in einer enthalten ist? Ich stehe gerade völlig auf dem Schlauch.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2021-01-22


2021-01-22 16:10 - Gengar in Beitrag No. 13 schreibt:
Wie könnte man zeigen, dass jedes Element \(m\in\) \(M        \setminus\mathbb{Q}\) ein primitives Element von \(M\) ist?

Das ist falsch.



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Gengar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22


Ja? Auch ohne den rationalen Zahlen?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-01-22


Ich kann lesen ;). Nimm dir irgendeinen echten Zwischenkörper, wähle davon ein primitives Element, fertig.



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So war das nicht gemeint, ich bin nur sehr verwundert dass die Aufgabenstellung falsch ist.

Ist die Aussage mit der Konstruierbarkeit richtig?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2021-01-22


2021-01-22 19:20 - Gengar in Beitrag No. 18 schreibt:
So war das nicht gemeint, ich bin nur sehr verwundert dass die Aufgabenstellung falsch ist.

Ich habe dir eben erklärt, wie man ein Gegenbeispiel konstruiert, weswegen die Aussage falsch ist.



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2021-01-22 19:16 - Triceratops in Beitrag No. 17 schreibt:
Ich kann lesen ;). Nimm dir irgendeinen echten Zwischenkörper, wähle davon ein primitives Element, fertig.

Aber es gibt doch gar keinen.



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Triceratops
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Achso, du redest ja noch von $M$. Ich dachte an die Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $S_4$. Ok, aber dann folgt die Aussage eben direkt daraus (und ist äquivalent dazu), dass es keine echten Zwischenkörper gibt.



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Ja, das hat mich total verwirrt.

Aber ja habe es inzwischen auch damit begründet tatsächlich (obwohl wir diesen einen Satz nicht hatten).

Zur nicht-konstruierbarkeit habe ich halt den Ansatz, dass es nicht möglich ist \(M\) zu gewinnen aus Erweiterungen von \(\mathbb{Q}\) 2. Grades.


Also \(M/\mathbb{Q}\) hat Grad \(4\), aber keine echten Zwischenkörper. Ich habe auch im Buch nach Sätzen gesucht, die helfen könnten, aber nichts wirklich gefunden.







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Eine endliche konstruierbare Erweiterung hat Grad $2^n$ und hat für jedes $0 \leq k \leq n$ einen Zwischenkörper vom Grad $2^k$. Ich weiß nicht, was du so über konstruierbare Erweiterungen weißt, insofern kann ich dir nicht sagen, wie man das mit deinem Vorwissen beweist. Man kann es zum Beispiel mit dem Hauptsatz der Galoistheorie auf eine entsprechende gruppentheoretische Aussage zurückführen.



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