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| Autor |
  Absolute Konvergenz |
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Sandrob
Aktiv 
Dabei seit: 15.03.2020
Mitteilungen: 114
 | \(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo liebe Freunde des Matheplaneten,
Ich bereite mich gerade auf meine Analysis 1-Klausur vor und habe bei der Einführung der Exponentialfunktion eine kleine Frage. Wir haben die Exponentialfunktion mit der Exponentialreihe eingeführt.
Um die Konvergenz dieser Reihe für alle $x\in \mathbb{R}$ zu zeigen, haben wir vorerst die Annahme $x\geq 0$ getroffen und konnten dann zeigen, dass die Reihe für solche $x$ konvergiert.
Wäre es nun in Ordnung zu sagen, dass die Exponentialreihe also absolut konvergiert und somit auch "normal" konvergiert für alle $x\in \mathbb{R}$?
Vielen Dank jetzt schon für eure Antworten.\(\endgroup\)
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1179
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-22
|
Hi,
ja, das ist in Ordnung. (Woran zweifelst du?)
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
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Sandrob
Aktiv
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Mitteilungen: 114
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo Kezer,
Meine Zweifel ergeben sich vor allem deswegen, weil wir ja anfänglich die Annahme $x\geq 0$ treffen. Wir zeigen dann die "normale" Konvergenz für diese Wahl von $x$ und können dann schliessen, dass die Reihe für $x\geq 0$ auch absolut konvergiert, da für $x\geq 0$ gilt $|x|=x$. Nun frage ich mich aber, ob wir dieses Ergebnis der absoluten Konvergenz auf alle $x\in \mathbb{R}$ verallgemeinern dürfen?\(\endgroup\)
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1179
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Hi,
vielleicht hilft es, das Argument nochmal genauer aufzuschreiben (das empfehle ich immer, wenn du dir irgendwo unsicher bist). Ich schreibe mal das Argument sehr ausführlich in anderen Worten auf.
Sei $x \in \mathbb R$. Wir wollen zeigen, dass $\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ konvergiert. Wenn wir zeigen können, dass die Reihe absolut konvergiert, dann konvergiert sie auch, also genügt es zu zeigen, dass $\sum_{n=0}^\infty \frac{|x|^n}{n!}$ konvergiert.
Hier sollte es wahrscheinlich schon klar sein, vielleicht hilft es aber noch mal $y = |x|$ umzubenennen. Es ist also zu zeigen, dass $\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!} = \exp(y)$ konvergiert, wobei $y \geq 0$ ist. Das ist aber bereits bewiesen.
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